Examkin

Question

Difficulty: HardBeklenen Kareler Ortalamaları (E(MS))

Bir tekstil fabrikasında üretilen ipliklerin kopma mukavemeti incelenmektedir. Fabrikadaki çok sayıdaki makine arasından tesadüfi olarak a=4a = 4 makine seçilmiş ve her bir makineden eşit sayıda, n=6n = 6 adet iplik örneği alınarak kopma mukavemetleri ölçülmüştür. Bu veri seti için tek yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulanmıştır.

Deneydeki makine etkisi şansa bağlı (tesadüfi) bir faktör olarak modellendiğine göre; genel hata varyansı σ2\sigma^2 ve makineler arası varyans unsuru στ2\sigma_\tau^2 olmak üzere, makine faktörüne ait beklenen kareler ortalaması (E(MSMakine)E(MS_{\text{Makine}})) ile varyans unsuru στ2\sigma_\tau^2'nin yansız tahmini (σ^τ2\hat{\sigma}_\tau^2) aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

(Not: MSMakineMS_{\text{Makine}}, makine kareler ortalamasını; MSHataMS_{\text{Hata}}, hata kareler ortalamasını ifade etmektedir.)

  1. E(MSMakine)=σ2+6στ2E(MS_{\text{Makine}}) = \sigma^2 + 6\sigma_\tau^2 ve σ^τ2=MSMakine−MSHata6\hat{\sigma}_\tau^2 = \frac{MS_{\text{Makine}} - MS_{\text{Hata}}}{6}Answer
  2. B
    E(MSMakine)=σ2+6∑τi23E(MS_{\text{Makine}}) = \sigma^2 + \frac{6\sum\tau_i^2}{3} ve σ^τ2=MSMakine−MSHata6\hat{\sigma}_\tau^2 = \frac{MS_{\text{Makine}} - MS_{\text{Hata}}}{6}
  3. C
    E(MSMakine)=σ2+4στ2E(MS_{\text{Makine}}) = \sigma^2 + 4\sigma_\tau^2 ve σ^τ2=MSMakine−MSHata4\hat{\sigma}_\tau^2 = \frac{MS_{\text{Makine}} - MS_{\text{Hata}}}{4}
  4. D
    E(MSMakine)=σ2+στ2E(MS_{\text{Makine}}) = \sigma^2 + \sigma_\tau^2 ve σ^τ2=MSMakine−MSHata\hat{\sigma}_\tau^2 = MS_{\text{Makine}} - MS_{\text{Hata}}
  5. E
    E(MSMakine)=σ2+6στ2E(MS_{\text{Makine}}) = \sigma^2 + 6\sigma_\tau^2 ve σ^τ2=MSMakine−MSHata3\hat{\sigma}_\tau^2 = \frac{MS_{\text{Makine}} - MS_{\text{Hata}}}{3}

Answer

Makine kareler ortalamasının beklenen değeri σ2+6στ2\sigma^2 + 6\sigma_\tau^2 olup, makineler arası varyans unsurunun yansız tahmini MSMakine−MSHata6\frac{MS_{\text{Makine}} - MS_{\text{Hata}}}{6} formülüyle hesaplanır.
Soru metninde makine etkisinin şansa bağlı (tesadüfi) olduğu açıkça belirtilmiştir. Tek yönlü tesadüfi etkili modelde (Model II), gruplar arası beklenen kareler ortalaması genel formülü E(MSTr)=σ2+nστ2E(MS_{Tr}) = \sigma^2 + n\sigma_\tau^2 ile ifade edilir. Burada nn değeri her gruptaki gözlem (tekrar) sayısıdır. Soruda n=6n=6 olarak verildiğinden E(MSMakine)=σ2+6στ2E(MS_{\text{Makine}}) = \sigma^2 + 6\sigma_\tau^2 olur. E(MSHata)=σ2E(MS_{\text{Hata}}) = \sigma^2 olduğu bilindiğine göre, makineler arası varyans unsuru στ2\sigma_\tau^2'yi tahmin etmek için bu iki değer kullanılarak στ2\sigma_\tau^2 yalnız bırakılır. Eşitlik çözüldüğünde σ^τ2=MSMakine−MSHata6\hat{\sigma}_\tau^2 = \frac{MS_{\text{Makine}} - MS_{\text{Hata}}}{6} yansız tahmin edicisine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Araştırmanın istatistiksel modelini belirleme
Model tesadüfi etkili (şansa bağlı / Model II) tek yönlü varyans analizidir.
Makineler, fabrikanın tüm makineleri arasından 'tesadüfi' olarak seçilmiştir.
2
Tesadüfi model için beklenen kareler ortalaması kurallarını uygulama
E(MSMakine)=σ2+nστ2E(MS_{\text{Makine}}) = \sigma^2 + n\sigma_\tau^2 genel formülü yazılır.
Tesadüfi modelde gruplar arası beklenen kareler ortalaması, hata varyansı ile tekrar sayısıyla çarpılmış grup varyans unsurunun toplamıdır.
3
Deneydeki tekrar sayısını (nn) formüle yerleştirme
Her makineden n=6n = 6 ölçüm alındığı için formül E(MSMakine)=σ2+6στ2E(MS_{\text{Makine}}) = \sigma^2 + 6\sigma_\tau^2 şeklini alır.
Formüldeki nn katsayısı grup sayısını (aa) değil, her gruptaki gözlem sayısını ifade eder.
4
Varyans unsuru στ2\sigma_\tau^2 için tahmin edici oluşturma
σ^τ2=MSMakine−MSHata6\hat{\sigma}_\tau^2 = \frac{MS_{\text{Makine}} - MS_{\text{Hata}}}{6} bulunur.
E(MSHata)=σ2E(MS_{\text{Hata}}) = \sigma^2'dir. E(MSMakine)E(MS_{\text{Makine}}) denkleminden σ2\sigma^2 çıkarılıp n=6n=6 değerine bölündüğünde varyans unsuru yalnız bırakılmış olur.

Key Concept

Tek Yönlü Tesadüfi Etkili ANOVA Modelinde E(MS) Çıkarımı
Rate this question

Topics

Beklenen Kareler Ortalamaları (E(MS))

More questions from this topic