X_1, X_2, \dots, X_n, olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2x}{… — KPSS İstatistik

$X_1, X_2, \dots, X_n$ , olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2x}{\theta^2}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

olan bir kitleden alınmış $n$ çaplı rastgele bir örneklem olsun. $\theta$ parametresini tahmin etmek için $T = \bar{X}$ (örneklem ortalaması) tahmin edicisi öneriliyor.

Buna göre, $T = \bar{X}$ tahmin edicisinin $\theta$ parametresi için Hata Kareler Ortalaması ( $MSE$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{2n+1}{18n}\theta^2$ Answer
B
$\frac{1}{18n}\theta^2$
C
$\frac{1}{6}\theta^2$
D
$\frac{1}{9}\theta^2$
E
$\frac{2n+9}{18n}\theta^2$

Answer

Doğru cevap, varyans ile yan miktarının karesinin toplamı olan

\frac{2n+1}{18n}\theta^2

ifadesidir.

Tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesaplanırken

MSE(T) = Var(T) + [Bias(T)]^2

eşitliği kullanılır.

T = \bar{X}

için

E[T] = \frac{2}{3}\theta

olduğundan yan miktarı

-\frac{1}{3}\theta

, karesi ise

\frac{1}{9}\theta^2

'dir. Tahmin edicinin varyansı

Var(\bar{X}) = \frac{1}{18n}\theta^2

olarak bulunur. İki değer toplandığında

\frac{2n+1}{18n}\theta^2

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

Kitlenin beklenen değerini (

E[X]

) hesaplayınız.

E[X] = \int_0^\theta x \cdot \frac{2x}{\theta^2} dx = \int_0^\theta \frac{2x^2}{\theta^2} dx = \left[ \frac{2x^3}{3\theta^2} \right]_0^\theta = \frac{2}{3}\theta

Tahmin edicinin yansızlığını kontrol etmek ve yan miktarını bulmak için kitle ortalamasına ihtiyaç vardır.

Kitlenin varyansını (

Var(X)

) hesaplayınız.

E[X^2] = \int_0^\theta x^2 \cdot \frac{2x}{\theta^2} dx = \left[ \frac{2x^4}{4\theta^2} \right]_0^\theta = \frac{1}{2}\theta^2

. Buradan

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{1}{2}\theta^2 - \frac{4}{9}\theta^2 = \frac{1}{18}\theta^2

elde edilir.

Tahmin edicinin varyansını bulabilmek için temel kitle varyansının hesaplanması gerekir.

Tahmin edici

T = \bar{X}

'in beklenen değerini, varyansını ve yan miktarını (Bias) hesaplayınız.

E[T] = E[\bar{X}] = \frac{2}{3}\theta

. Yan miktar:

Bias(T) = E[T] - \theta = -\frac{1}{3}\theta

. Varyans:

Var(T) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{1}{18n}\theta^2

MSE formülündeki eksik parçaları (varyans ve yan miktarını) örneklem istatistiği (

T

) bazında belirlemek için.

Hata Kareler Ortalaması (

MSE

) formülünü uygulayınız.

MSE(T) = Var(T) + [Bias(T)]^2 = \frac{1}{18n}\theta^2 + \left(-\frac{1}{3}\theta\right)^2 = \frac{1}{18n}\theta^2 + \frac{1}{9}\theta^2 = \frac{1 + 2n}{18n}\theta^2 = \frac{2n+1}{18n}\theta^2

Yanlı tahmin edicilerin performansını değerlendirmede MSE = Varyans + Yan^2 temel denklemi kullanılır.

Key Concept

Yanlı bir tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması (

MSE

), tahmin edicinin varyansı ile yansızlık miktarının (yan) karesinin toplamına eşittir.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic