X_1, X_2, \dots, X_n, olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{3x^2… — KPSS İstatistik

X_1, X_2, \dots, X_n

, olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{3x^2}{\theta^3}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

olan bir kitleden çekilen

n

birimlik rastgele bir örneklem ve

X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \dots, X_n)

bu örneklemin en büyük sıra istatistiği olsun.

\theta > 0

bilinmeyen bir parametredir.

$\theta$ parametresini tahmin etmek için iki farklı tahmin edici tanımlanmıştır:
* $T_1 = c \cdot X_{(n)}$ ( $\theta$ için yansız bir tahmin edicidir)
* $T_2 = X_{(n)}$ ( $\theta$ için en çok olabilirlik tahmin edicisidir)

Buna göre, $T_2$ tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalamasının (MSE), $T_1$ tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalamasına (MSE) oranı olan $\left( \frac{MSE(T_2)}{MSE(T_1)} \right)$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{9n^2}{(3n+1)^2}$
B
$\frac{3n+1}{6n}$
$\frac{6n}{3n+1}$ Answer
D
$2$
E
$\frac{3n}{3n+2}$

Answer

\frac{6n}{3n+1}

ifadesi doğru orandır.

Doğru yanıt,

T_1

'in yansızlık sabiti bulunup MSE'sinin sadece varyans formülüyle,

T_2

'nin MSE'sinin ise varyansa yan miktarının karesi eklenerek bulunması ve bu iki değerin birbirine oranlanması ile elde edilen

\frac{6n}{3n+1}

ifadesidir.

Step-by-Step Solution

X_{(n)}

sıra istatistiğinin dağılım fonksiyonunu ve olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulma.

Kümülatif dağılım:

F(x) = \int_0^x \frac{3t^2}{\theta^3} dt = \frac{x^3}{\theta^3}

. Buna göre

X_{(n)}

'in PDF'si:

f_{(n)}(y) = n [F(y)]^{n-1} f(y) = n \left(\frac{y^3}{\theta^3}\right)^{n-1} \frac{3y^2}{\theta^3} = \frac{3n y^{3n-1}}{\theta^{3n}}

(

0 < y < \theta

Sıra istatistiğinin beklenen değerini ve varyansını hesaplayabilmek için öncelikle dağılım fonksiyonuna ihtiyaç vardır.

X_{(n)}

istatistiğinin beklenen değer (

E[X_{(n)}]

) ve varyans (

Var(X_{(n)})

) değerlerini hesaplama.

E[X_{(n)}] = \int_0^\theta y \frac{3n y^{3n-1}}{\theta^{3n}} dy = \frac{3n}{3n+1}\theta

E[X_{(n)}^2] = \int_0^\theta y^2 \frac{3n y^{3n-1}}{\theta^{3n}} dy = \frac{3n}{3n+2}\theta^2

Var(X_{(n)}) = E[X_{(n)}^2] - (E[X_{(n)}])^2 = \frac{3n}{3n+2}\theta^2 - \frac{9n^2}{(3n+1)^2}\theta^2 = \frac{3n}{(3n+2)(3n+1)^2}\theta^2

Tahmin edicilerin yan miktarını (bias) ve varyanslarını bulmak için bu momentler zorunludur.

T_1

'in yansızlık sabiti olan

c

'yi bulma ve

MSE(T_1)

'i hesaplama.

E[T_1] = c E[X_{(n)}] = c \frac{3n}{3n+1}\theta = \theta

olmalıdır. Buradan

c = \frac{3n+1}{3n}

bulunur.

T_1

yansız olduğu için

MSE(T_1) = Var(T_1) = c^2 Var(X_{(n)}) = \left(\frac{3n+1}{3n}\right)^2 \frac{3n}{(3n+2)(3n+1)^2}\theta^2 = \frac{1}{3n(3n+2)}\theta^2

Yansız bir tahmin edicinin MSE'si doğrudan kendi varyansına eşittir. Sabit çarpana dikkat edilerek varyans hesaplanmalıdır.

T_2 = X_{(n)}

tahmin edicisinin MSE değerini formül (

MSE = Var + Yan^2

) ile hesaplama.

Yan(T_2) = E[X_{(n)}] - \theta = \frac{3n}{3n+1}\theta - \theta = \frac{-\theta}{3n+1}

MSE(T_2) = Var(X_{(n)}) + [Yan(T_2)]^2 = \frac{3n}{(3n+2)(3n+1)^2}\theta^2 + \frac{1}{(3n+1)^2}\theta^2 = \frac{3n + (3n+2)}{(3n+2)(3n+1)^2}\theta^2 = \frac{6n+2}{(3n+2)(3n+1)^2}\theta^2 = \frac{2(3n+1)}{(3n+2)(3n+1)^2}\theta^2 = \frac{2}{(3n+2)(3n+1)}\theta^2

T_2

yanlı bir tahmin edicidir, bu nedenle MSE hesabı için varyansa yan miktarının karesi eklenmek zorundadır.

MSE(T_2) / MSE(T_1)

oranını oluşturma.

\frac{MSE(T_2)}{MSE(T_1)} = \frac{\frac{2}{(3n+2)(3n+1)}\theta^2}{\frac{1}{3n(3n+2)}\theta^2} = \frac{2 \cdot 3n(3n+2)}{(3n+2)(3n+1)} = \frac{6n}{3n+1}

İki farklı tahmin edicinin verimliliklerini veya MSE'lerini kıyaslamak için istenen nihai işlem gerçekleştirilmiştir.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE) ve Yansızlık

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic