Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE) Practice Questions — KPSS İstatistik

$X_1, X_2, \dots, X_n$ , olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2x}{\theta^2}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

olan bir kitleden alınmış $n$ çaplı rastgele bir örneklem olsun. $\theta$ parametresini tahmin etmek için $T = \bar{X}$ (örneklem ortalaması) tahmin edicisi öneriliyor.

Buna göre, $T = \bar{X}$ tahmin edicisinin $\theta$ parametresi için Hata Kareler Ortalaması ( $MSE$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{2n+1}{18n}\theta^2

\frac{1}{18n}\theta^2

\frac{1}{6}\theta^2

\frac{1}{9}\theta^2

\frac{2n+9}{18n}\theta^2

Show answer & explanation

Answer: $\frac{2n+1}{18n}\theta^2$

Answer

Doğru cevap, varyans ile yan miktarının karesinin toplamı olan

\frac{2n+1}{18n}\theta^2

ifadesidir.

Tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesaplanırken

MSE(T) = Var(T) + [Bias(T)]^2

eşitliği kullanılır.

T = \bar{X}

için

E[T] = \frac{2}{3}\theta

olduğundan yan miktarı

-\frac{1}{3}\theta

, karesi ise

\frac{1}{9}\theta^2

'dir. Tahmin edicinin varyansı

Var(\bar{X}) = \frac{1}{18n}\theta^2

olarak bulunur. İki değer toplandığında

\frac{2n+1}{18n}\theta^2

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Kitlenin beklenen değerini (

E[X]

) hesaplayınız.

E[X] = \int_0^\theta x \cdot \frac{2x}{\theta^2} dx = \int_0^\theta \frac{2x^2}{\theta^2} dx = \left[ \frac{2x^3}{3\theta^2} \right]_0^\theta = \frac{2}{3}\theta

Tahmin edicinin yansızlığını kontrol etmek ve yan miktarını bulmak için kitle ortalamasına ihtiyaç vardır.

2

Kitlenin varyansını (

Var(X)

) hesaplayınız.

E[X^2] = \int_0^\theta x^2 \cdot \frac{2x}{\theta^2} dx = \left[ \frac{2x^4}{4\theta^2} \right]_0^\theta = \frac{1}{2}\theta^2

. Buradan

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{1}{2}\theta^2 - \frac{4}{9}\theta^2 = \frac{1}{18}\theta^2

elde edilir.

Tahmin edicinin varyansını bulabilmek için temel kitle varyansının hesaplanması gerekir.

3

Tahmin edici

T = \bar{X}

'in beklenen değerini, varyansını ve yan miktarını (Bias) hesaplayınız.

E[T] = E[\bar{X}] = \frac{2}{3}\theta

. Yan miktar:

Bias(T) = E[T] - \theta = -\frac{1}{3}\theta

. Varyans:

Var(T) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{1}{18n}\theta^2

.

MSE formülündeki eksik parçaları (varyans ve yan miktarını) örneklem istatistiği (

T

) bazında belirlemek için.

4

Hata Kareler Ortalaması (

MSE

) formülünü uygulayınız.

MSE(T) = Var(T) + [Bias(T)]^2 = \frac{1}{18n}\theta^2 + \left(-\frac{1}{3}\theta\right)^2 = \frac{1}{18n}\theta^2 + \frac{1}{9}\theta^2 = \frac{1 + 2n}{18n}\theta^2 = \frac{2n+1}{18n}\theta^2

.

Yanlı tahmin edicilerin performansını değerlendirmede MSE = Varyans + Yan^2 temel denklemi kullanılır.

Key Concept

Yanlı bir tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması (

MSE

), tahmin edicinin varyansı ile yansızlık miktarının (yan) karesinin toplamına eşittir.

Question 2Question →

X_1, X_2, \dots, X_n

, olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{3x^2}{\theta^3}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

olan bir kitleden çekilen

n

birimlik rastgele bir örneklem ve

X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \dots, X_n)

bu örneklemin en büyük sıra istatistiği olsun.

\theta > 0

bilinmeyen bir parametredir.

$\theta$ parametresini tahmin etmek için iki farklı tahmin edici tanımlanmıştır:
* $T_1 = c \cdot X_{(n)}$ ( $\theta$ için yansız bir tahmin edicidir)
* $T_2 = X_{(n)}$ ( $\theta$ için en çok olabilirlik tahmin edicisidir)

Buna göre, $T_2$ tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalamasının (MSE), $T_1$ tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalamasına (MSE) oranı olan $\left( \frac{MSE(T_2)}{MSE(T_1)} \right)$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{9n^2}{(3n+1)^2}

\frac{3n+1}{6n}

\frac{6n}{3n+1}

2

\frac{3n}{3n+2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{6n}{3n+1}$

Answer

\frac{6n}{3n+1}

ifadesi doğru orandır.

Doğru yanıt,

T_1

'in yansızlık sabiti bulunup MSE'sinin sadece varyans formülüyle,

T_2

'nin MSE'sinin ise varyansa yan miktarının karesi eklenerek bulunması ve bu iki değerin birbirine oranlanması ile elde edilen

\frac{6n}{3n+1}

ifadesidir.

Step-by-Step Solution

1

X_{(n)}

sıra istatistiğinin dağılım fonksiyonunu ve olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulma.

Kümülatif dağılım:

F(x) = \int_0^x \frac{3t^2}{\theta^3} dt = \frac{x^3}{\theta^3}

. Buna göre

X_{(n)}

'in PDF'si:

f_{(n)}(y) = n [F(y)]^{n-1} f(y) = n \left(\frac{y^3}{\theta^3}\right)^{n-1} \frac{3y^2}{\theta^3} = \frac{3n y^{3n-1}}{\theta^{3n}}

(

0 < y < \theta

).

Sıra istatistiğinin beklenen değerini ve varyansını hesaplayabilmek için öncelikle dağılım fonksiyonuna ihtiyaç vardır.

2

X_{(n)}

istatistiğinin beklenen değer (

E[X_{(n)}]

) ve varyans (

Var(X_{(n)})

) değerlerini hesaplama.

E[X_{(n)}] = \int_0^\theta y \frac{3n y^{3n-1}}{\theta^{3n}} dy = \frac{3n}{3n+1}\theta

.

E[X_{(n)}^2] = \int_0^\theta y^2 \frac{3n y^{3n-1}}{\theta^{3n}} dy = \frac{3n}{3n+2}\theta^2

.

Var(X_{(n)}) = E[X_{(n)}^2] - (E[X_{(n)}])^2 = \frac{3n}{3n+2}\theta^2 - \frac{9n^2}{(3n+1)^2}\theta^2 = \frac{3n}{(3n+2)(3n+1)^2}\theta^2

.

Tahmin edicilerin yan miktarını (bias) ve varyanslarını bulmak için bu momentler zorunludur.

3

T_1

'in yansızlık sabiti olan

c

'yi bulma ve

MSE(T_1)

'i hesaplama.

E[T_1] = c E[X_{(n)}] = c \frac{3n}{3n+1}\theta = \theta

olmalıdır. Buradan

c = \frac{3n+1}{3n}

bulunur.

T_1

yansız olduğu için

MSE(T_1) = Var(T_1) = c^2 Var(X_{(n)}) = \left(\frac{3n+1}{3n}\right)^2 \frac{3n}{(3n+2)(3n+1)^2}\theta^2 = \frac{1}{3n(3n+2)}\theta^2

.

Yansız bir tahmin edicinin MSE'si doğrudan kendi varyansına eşittir. Sabit çarpana dikkat edilerek varyans hesaplanmalıdır.

4

T_2 = X_{(n)}

tahmin edicisinin MSE değerini formül (

MSE = Var + Yan^2

) ile hesaplama.

Yan(T_2) = E[X_{(n)}] - \theta = \frac{3n}{3n+1}\theta - \theta = \frac{-\theta}{3n+1}

.

MSE(T_2) = Var(X_{(n)}) + [Yan(T_2)]^2 = \frac{3n}{(3n+2)(3n+1)^2}\theta^2 + \frac{1}{(3n+1)^2}\theta^2 = \frac{3n + (3n+2)}{(3n+2)(3n+1)^2}\theta^2 = \frac{6n+2}{(3n+2)(3n+1)^2}\theta^2 = \frac{2(3n+1)}{(3n+2)(3n+1)^2}\theta^2 = \frac{2}{(3n+2)(3n+1)}\theta^2

.

T_2

yanlı bir tahmin edicidir, bu nedenle MSE hesabı için varyansa yan miktarının karesi eklenmek zorundadır.

5

MSE(T_2) / MSE(T_1)

oranını oluşturma.

\frac{MSE(T_2)}{MSE(T_1)} = \frac{\frac{2}{(3n+2)(3n+1)}\theta^2}{\frac{1}{3n(3n+2)}\theta^2} = \frac{2 \cdot 3n(3n+2)}{(3n+2)(3n+1)} = \frac{6n}{3n+1}

.

İki farklı tahmin edicinin verimliliklerini veya MSE'lerini kıyaslamak için istenen nihai işlem gerçekleştirilmiştir.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE) ve Yansızlık

Question 3Question →

Bir $X$ rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2}{\theta} \left( 1 - \frac{x}{\theta} \right), & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu dağılımdan çekilen $n$ birimlik bir rastgele örneklemin ortalaması $\bar{X}$ olmak üzere, $\theta$ parametresi için $T = 2\bar{X}$ tahmin edicisi öneriliyor.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{2-n}{9n}\theta^2

\frac{n+1}{9n}\theta^2

\frac{n+2}{9n}\theta^2

\frac{2}{9n}\theta^2

\frac{4n+2}{9n}\theta^2

Show answer & explanation

Answer: $\frac{n+2}{9n}\theta^2$

Answer

T

tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE)

\frac{n+2}{9n}\theta^2

ifadesine eşittir.

Hata kareler ortalaması (MSE), tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir (

MSE = Var(T) + Bias^2

). Kütle ortalaması

E[X] = \theta/3

ve kütle varyansı

Var(X) = \theta^2/18

olarak hesaplanır. Önerilen

T = 2\bar{X}

tahmin edicisinin beklenen değeri

E[T] = 2\theta/3

olup, yan miktarı

E[T] - \theta = -\theta/3

şeklindedir. Tahmin edicinin varyansı ise

Var(T) = 4Var(\bar{X}) = 4(\theta^2 / 18n) = 2\theta^2 / 9n

olur. Formülde yerine konulduğunda

MSE(T) = (2\theta^2 / 9n) + (\theta^2 / 9) = \frac{n+2}{9n}\theta^2

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

X

rassal değişkeninin beklenen değerini (

E[X]

) ve ikinci momentini (

E[X^2]

) hesapla.

E[X] = \int_0^\theta x \frac{2}{\theta} (1 - \frac{x}{\theta}) dx = \frac{\theta}{3}

ve

E[X^2] = \int_0^\theta x^2 \frac{2}{\theta} (1 - \frac{x}{\theta}) dx = \frac{\theta^2}{6}

bulunur.

Kütle varyansını ve örneklem ortalamasının özelliklerini bulabilmek için kütlenin momentlerine ihtiyaç vardır.

2

Kütle varyansını (

Var(X)

) hesapla.

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{\theta^2}{6} - \left(\frac{\theta}{3}\right)^2 = \frac{\theta^2}{18}

olarak bulunur.

Tahmin edici olan

T

'nin varyansını hesaplayabilmek için ana kütle varyansının bilinmesi gereklidir.

3

T = 2\bar{X}

tahmin edicisinin beklenen değerini ve varyansını bul.

E[T] = 2E[\bar{X}] = 2\left(\frac{\theta}{3}\right) = \frac{2\theta}{3}

ve

Var(T) = 4Var(\bar{X}) = 4\left(\frac{\theta^2}{18n}\right) = \frac{2\theta^2}{9n}

olur.

MSE hesabı, tahmin edicinin varyansına ve parametreye olan uzaklığına (beklenen değerine) dayanır.

4

Tahmin edicinin yan miktarını (

B(\theta)

) bul ve Hata Kareler Ortalamasını (

MSE

) hesapla.

B(\theta) = E[T] - \theta = \frac{2\theta}{3} - \theta = -\frac{\theta}{3}

olur. Buradan

MSE(T) = Var(T) + B(\theta)^2 = \frac{2\theta^2}{9n} + \frac{\theta^2}{9} = \frac{n+2}{9n}\theta^2

elde edilir.

Yanlı tahmin edicilerde MSE, varyans ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE) ve Yansızlık

Question 4Question →

$X_1, X_2, \dots, X_n$ , beklenen değeri $\theta$ olan üstel (eksponansiyel) dağılımdan alınmış $n$ birimlik rastgele bir örneklem olsun.

Bir araştırmacı $\theta^2$ parametresini tahmin etmek amacıyla, örneklem ortalamasının karesini kullanarak $T_c = c\bar{X}^2$ formunda bir tahmin edici sınıfı tanımlamıştır ( $c > 0$ bir sabittir).

Araştırmacı, bu sınıf içerisinden Hata Kareler Ortalamasını (MSE) minimum yapan optimal $T_{opt}$ tahmin edicisini seçtiğine göre, seçilen bu tahmin edicinin yan (bias) miktarı aşağıdakilerden hangisidir?

-\frac{2(2n+3)}{(n+2)(n+3)}\theta^2

0

\frac{1}{n}\theta^2

-\theta^2

-\frac{2(2n+1)}{n^2+6n+3}\theta^2

Show answer & explanation

Answer: $-\frac{2(2n+3)}{(n+2)(n+3)}\theta^2$

Answer

Optimal tahmin edicinin yan miktarı

-\frac{2(2n+3)}{(n+2)(n+3)}\theta^2

olarak hesaplanır.

Hata Kareler Ortalamasını (MSE) minimize eden tahmin edici bulunurken denklem

E[(T - \theta^2)^2] = c^2 E[\bar{X}^4] - 2c\theta^2 E[\bar{X}^2] + \theta^4

şeklinde kurulur. Üstel örneklem toplamının Gamma dağılması özelliğinden 2. ve 4. momentler sırasıyla

E[\bar{X}^2] = \frac{n+1}{n}\theta^2

ve

E[\bar{X}^4] = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{n^3}\theta^4

olarak bulunur. MSE fonksiyonunun

c

'ye göre türevi sıfıra eşitlendiğinde optimal katsayı

c_{opt} = \frac{n^2}{(n+2)(n+3)}

elde edilir. Yan miktarı ise

E[T_{opt}] - \theta^2

formülünden hesaplandığında sonucun negatif bir rasyonel polinom katsayısına sahip olduğu doğru seçenek ortaya çıkar.

Step-by-Step Solution

1

Örneklem ortalamasının karesinin beklenen değerini (

E[\bar{X}^2]

) hesapla.

E[\bar{X}^2] = Var(\bar{X}) + E[\bar{X}]^2 = \frac{\theta^2}{n} + \theta^2 = \frac{n+1}{n}\theta^2

.

Tahmin edicinin yan (bias) miktarını bulmak için birinci momente ihtiyaç vardır.

2

MSE hesabında kullanılacak 4. momenti (

E[\bar{X}^4]

) Gamma dağılımı özelliklerinden türet.

Üstel örneklem toplamı

S = \sum X_i \sim Gamma(n, \theta)

dağılır.

E[S^4] = n(n+1)(n+2)(n+3)\theta^4

. Buradan

E[\bar{X}^4] = \frac{E[S^4]}{n^4} = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{n^3}\theta^4

.

MSE denkleminde

E[T_c^2] = c^2 E[\bar{X}^4]

terimi yer alır ve bu hesaplama optimizasyon için kritiktir.

3

MSE fonksiyonunu

c

parametresine göre yaz ve türev alarak minimum yapan

c_{opt}

değerini bul.

MSE(c) = E[(c\bar{X}^2 - \theta^2)^2] = c^2 E[\bar{X}^4] - 2c\theta^2 E[\bar{X}^2] + \theta^4

. Türev sıfıra eşitlendiğinde:

c_{opt} = \frac{\theta^2 E[\bar{X}^2]}{E[\bar{X}^4]} = \frac{n^2}{(n+2)(n+3)}

bulunur.

Hata Kareler Ortalaması'nın minimum noktası, tahmin edicinin optimal ölçekleme faktörünü (c) verir.

4

Bulunan

c_{opt}

değeri için tahmin edicinin yan miktarını (Bias) hesapla.

Bias = E[c_{opt}\bar{X}^2] - \theta^2 = c_{opt}\frac{n+1}{n}\theta^2 - \theta^2 = \left[ \frac{n(n+1)}{(n+2)(n+3)} - 1 \right]\theta^2 = -\frac{2(2n+3)}{(n+2)(n+3)}\theta^2

.

Soru bizden yansızlık durumunu değil, minimum MSE'ye sahip tahmin edicinin içerdiği teorik yan miktarını istemektedir.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE) Minimizasyonu ve Yan-Varyans Ödünleşimi

Alternative Method

MSE(T_c)

fonksiyonunu tanımlarken

E[(T_c - \theta^2)^2]

beklenen değerini doğrudan açmak yerine,

MSE(T_c) = Var(T_c) + [Bias(T_c)]^2

eşitliğini kullanarak ve Varyans hesabını

Var(\bar{X}^2) = E[\bar{X}^4] - (E[\bar{X}^2])^2

üzerinden kurgulayarak optimizasyon yapmak da matematiksel olarak eşdeğerdir.

Estimated Time:3m 0s

Question 5Question →

Bir araştırmacı, dağılımı

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{3x^2}{\theta^3}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer yerlerde} \end{cases}

şeklinde tanımlı bir kitleden $n$ birimlik $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemini çekmiştir.

Bu araştırmacı, $\theta$ parametresini tahmin etmek için en büyük sıra istatistiği olan $T = \max(X_1, X_2, \dots, X_n)$ tahmin edicisini kullanmaya karar vermiştir.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{(3n+1)^2}\theta^2

\frac{3n}{3n+2}\theta^2

\frac{2}{(3n+1)(3n+2)}\theta^2

\frac{3n}{(3n+1)^2(3n+2)}\theta^2

\frac{1}{(3n+1)(3n+2)}\theta^2

Show answer & explanation

Answer: $\frac{2}{(3n+1)(3n+2)}\theta^2$

Answer

Doğru cevap,

MSE = Var(T) + Bias(T)^2

eşitliğinden hesaplanan

\frac{2}{(3n+1)(3n+2)}\theta^2

ifadesidir.

Hata kareler ortalaması (MSE), tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir. Önce en büyük sıra istatistiği olan

T

'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_T(x) = \frac{3nx^{3n-1}}{\theta^{3n}}

olarak bulunur. Buradan tahmin edicinin beklenen değeri

E[T] = \frac{3n}{3n+1}\theta

bulunur; dolayısıyla tahmin edici yanlıdır ve yan miktarı

-\frac{1}{3n+1}\theta

olur. Tahmin edicinin ikinci momenti ve varyansı hesaplandıktan sonra, varyans ile yan miktarının karesi toplandığında sonuç

\frac{2}{(3n+1)(3n+2)}\theta^2

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Örneklemin birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF) ve en büyük sıra istatistiği T'nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak.

F(x) = \frac{x^3}{\theta^3}

ve

f_T(x) = n[F(x)]^{n-1} f(x) = \frac{3n x^{3n-1}}{\theta^{3n}}

(

0 < x < \theta

)

Sıra istatistiklerinin beklenen değer ve varyansını hesaplayabilmek için T'nin yoğunluk fonksiyonuna ihtiyaç vardır.

2

T tahmin edicisinin beklenen değerini (

E[T]

) ve yan (bias) miktarını hesaplamak.

E[T] = \int_0^\theta x \frac{3n x^{3n-1}}{\theta^{3n}} dx = \frac{3n}{3n+1}\theta

. Yan (Bias) =

E[T] - \theta = -\frac{1}{3n+1}\theta

MSE formülünde kullanmak üzere tahmin edicinin yanlı olup olmadığını ve yan miktarını belirlemek gereklidir.

3

T'nin ikinci momentini (

E[T^2]

) ve varyansını (

V(T)

) hesaplamak.

E[T^2] = \int_0^\theta x^2 \frac{3n x^{3n-1}}{\theta^{3n}} dx = \frac{3n}{3n+2}\theta^2

,

V(T) = E[T^2] - (E[T])^2 = \frac{3n}{(3n+2)(3n+1)^2}\theta^2

MSE hesabının ikinci temel bileşeni olan tahmin edicinin varyansını elde etmek için varyans tanımı kullanılır.

4

Hata kareler ortalaması (MSE) eşitliğini kullanarak nihai sonuca ulaşmak.

MSE(T) = V(T) + Bias(T)^2 = \frac{3n}{(3n+2)(3n+1)^2}\theta^2 + \frac{1}{(3n+1)^2}\theta^2 = \frac{2}{(3n+1)(3n+2)}\theta^2

MSE, tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşit olduğundan bu iki değer cebirsel olarak toplanır.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE) ve Yanlı Tahmin Ediciler

Question 6Question →

Bir istatistiksel modelleme sürecinde, elde edilen bağımsız $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örnekleminin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{x}{\theta^2} e^{-x/\theta}, & x > 0 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametredir. $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla $T = \frac{2}{3}\bar{X}$ tahmin edicisi (istatistiği) önerilmiştir.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{8}{9n}\theta^2

\frac{n+12}{9n}\theta^2

\frac{n+8}{9n}\theta^2

\frac{n+4}{9n}\theta^2

\frac{8-n}{9n}\theta^2

Show answer & explanation

Answer: $\frac{n+8}{9n}\theta^2$

Answer

\frac{n+8}{9n}\theta^2

Hata kareler ortalaması (MSE), bir tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir. Verilen dağılım

\alpha=2

ve

\beta=\theta

parametreli bir Gamma dağılımı olup beklenen değeri

2\theta

, varyansı ise

2\theta^2

'dir.

\bar{X}

'in beklenen değeri

2\theta

ve varyansı

\frac{2\theta^2}{n}

olur.

T = \frac{2}{3}\bar{X}

tahmin edicisinin beklenen değeri

\frac{4}{3}\theta

, varyansı ise katsayının karesi alınarak

\frac{8\theta^2}{9n}

olarak bulunur. Yan miktarı (Bias)

E[T] - \theta = \frac{1}{3}\theta

'dır. MSE formülüne göre varyans ve yanın karesi toplandığında

\frac{8\theta^2}{9n} + \frac{\theta^2}{9} = \frac{n+8}{9n}\theta^2

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonundan kitlenin beklenen değerini ve varyansını bulmak.

E[X] = 2\theta

ve

Var(X) = 2\theta^2

Fonksiyon, parametreleri

\alpha=2

ve

\beta=\theta

olan bir Gamma dağılımını ifade etmektedir. İntegral veya dağılımın özellikleri kullanılarak kitle momentleri elde edilir.

2

Önerilen

T = \frac{2}{3}\bar{X}

tahmin edicisinin beklenen değerini ve varyansını hesaplamak.

E[T] = \frac{4}{3}\theta

ve

Var(T) = \frac{8\theta^2}{9n}

Örneklem ortalamasının özellikleri gereği

E[\bar{X}] = E[X] = 2\theta

ve

Var(\bar{X}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{2\theta^2}{n}

'dir.

T

için

E[c\bar{X}] = cE[\bar{X}]

ve

Var(c\bar{X}) = c^2Var(\bar{X})

formülleri uygulanır.

3

T

tahmin edicisinin yan (bias) miktarını bulmak.

\text{Yan}(T) = \frac{1}{3}\theta

Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile asıl parametrenin farkıdır:

E[T] - \theta = \frac{4}{3}\theta - \theta = \frac{1}{3}\theta

.

4

Hata kareler ortalamasını (MSE) hesaplamak.

\text{MSE}(T) = \frac{n+8}{9n}\theta^2

Hata kareler ortalaması MSE = Var(

T

) + [Yan(

T

)]

^2

eşitliğiyle bulunur.

\frac{8\theta^2}{9n} + (\frac{1}{3}\theta)^2 = \frac{8\theta^2}{9n} + \frac{\theta^2}{9} = \frac{8\theta^2 + n\theta^2}{9n} = \frac{n+8}{9n}\theta^2

.

Key Concept

Tahmin edicilerde MSE'nin, varyans ile yan miktarının karesinin toplamı olması (

MSE = Var(\hat{\theta}) + [Bias(\hat{\theta})]^2

).

Question 7Question →

Bir sigorta şirketinde, gelen hasar taleplerinin büyüklüğü $X$ rassal değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, \quad x > 0, \quad \theta > 0

$\theta$ parametresini tahmin etmek için rastgele seçilen $n$ adet bağımsız hasar talebinden ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) oluşan bir örneklem alınmıştır. Bir aktüerya uzmanı, $\theta$ parametresi için $T = \frac{n}{n+1}\bar{X}$ tahmin edicisini önermiştir.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin $\theta$ için hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{n+1}\theta^2

\frac{n}{(n+1)^2}\theta^2

\frac{1}{(n+1)^2}\theta^2

\frac{n+2}{(n+1)^2}\theta^2

\frac{1}{n}\theta^2

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{n+1}\theta^2$

Answer

Tahmin edicinin hata kareler ortalaması (MSE), varyansı ile yan miktarının karesinin toplamı olan

\frac{1}{n+1}\theta^2

değerine eşittir.

Verilen üstel dağılımın beklenen değeri

E[X] = \theta

ve varyansı

Var(X) = \theta^2

'dir.

T = \frac{n}{n+1}\bar{X}

tahmin edicisinin hata kareler ortalamasını bulmak için MSE formülü

MSE(T) = Var(T) + [Yan(T)]^2

uygulanır. Beklenen değer

E[T] = \frac{n}{n+1}\theta

olduğundan yan miktarı

-\frac{1}{n+1}\theta

, karesi ise

\frac{1}{(n+1)^2}\theta^2

olur. Varyans

Var(T) = \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 \frac{\theta^2}{n} = \frac{n}{(n+1)^2}\theta^2

hesaplanır. İki değer toplandığında

\frac{n}{(n+1)^2}\theta^2 + \frac{1}{(n+1)^2}\theta^2 = \frac{n+1}{(n+1)^2}\theta^2 = \frac{1}{n+1}\theta^2

doğru sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

X

rassal değişkeninin ve örneklem ortalamasının (

\bar{X}

) beklenen değer ile varyansını belirle.

E[X] = \theta

,

Var(X) = \theta^2

olduğu için

E[\bar{X}] = \theta

ve

Var(\bar{X}) = \frac{\theta^2}{n}

olur.

T

tahmin edicisinin özelliklerini bulmak için temel kitle ve örneklem istatistiklerine ihtiyaç vardır.

2

T

tahmin edicisinin beklenen değerini ve yan miktarını (Bias) hesapla.

E[T] = E\left[\frac{n}{n+1}\bar{X}\right] = \frac{n}{n+1}\theta

. Yan miktarı:

Yan(T) = E[T] - \theta = -\frac{1}{n+1}\theta

.

MSE formülündeki

Yan(T)^2

terimini bulmak için yansızlık durumu kontrol edilmelidir.

3

T

tahmin edicisinin varyansını hesapla.

Var(T) = Var\left(\frac{n}{n+1}\bar{X}\right) = \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 Var(\bar{X}) = \frac{n^2}{(n+1)^2} \frac{\theta^2}{n} = \frac{n}{(n+1)^2}\theta^2

.

MSE formülündeki diğer bileşen olan varyans değerine ulaşmak gereklidir.

4

MSE formülünü (

MSE(T) = Var(T) + Yan(T)^2

) kullanarak sonucu bul.

MSE(T) = \frac{n}{(n+1)^2}\theta^2 + \left(-\frac{1}{n+1}\theta\right)^2 = \frac{n+1}{(n+1)^2}\theta^2 = \frac{1}{n+1}\theta^2

.

Tahmin edicinin toplam hatasını (MSE) elde etmek için varyans ve yan karesi toplanır.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE) Hesaplaması

Question 8Question →

Bir rüzgar enerjisi santrali projesinde, rüzgar hızları $X$ , aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip bir dağılım ile modellenmektedir:

f(x; \theta) = \frac{x}{\theta^2} e^{-\frac{x^2}{2\theta^2}}, \quad x > 0, \theta > 0

Burada $\theta$ bilinmeyen bir parametredir. $\theta^2$ parametresini tahmin etmek amacıyla, rastgele seçilen $n$ hacimli bağımsız $X_1, X_2, \dots, X_n$ örneklemi kullanılarak,

T = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2

tahmin edicisi önerilmiştir.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin $\theta^2$ parametresi için hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?
*(Bilgi: Bu dağılım için $E[X^2] = 2\theta^2$ ve $E[X^4] = 8\theta^4$ olarak verilmektedir.)*

\frac{n+4}{n}\theta^4

\frac{4}{n}\theta^4

\frac{n+8}{n}\theta^4

\frac{n^2+4}{n^2}\theta^4

\frac{1}{n}\theta^4

Show answer & explanation

Answer: $\frac{n+4}{n}\theta^4$

Answer

MSE(T) = \frac{n+4}{n}\theta^4

ifadesini veren seçenek doğru cevaptır.

Hata kareler ortalaması (MSE) hesaplanırken

MSE(T) = Var(T) + [Bias(T)]^2

formülü kullanılır. Soruda verilen bilgilere göre tahmin edicinin beklenen değeri

E[T] = \frac{1}{n} \sum E[X_i^2] = \frac{1}{n}(n \cdot 2\theta^2) = 2\theta^2

olarak bulunur. Tahmin edilmek istenen parametre

\theta^2

olduğundan, yan miktarı

Bias(T) = E[T] - \theta^2 = 2\theta^2 - \theta^2 = \theta^2

olur. Varyans hesabı için

Var(X^2) = E[X^4] - (E[X^2])^2 = 8\theta^4 - (2\theta^2)^2 = 4\theta^4

formülü uygulanır. Buradan

T

'nin varyansı

Var(T) = \frac{1}{n^2} \sum Var(X_i^2) = \frac{n \cdot 4\theta^4}{n^2} = \frac{4\theta^4}{n}

elde edilir. Sonuç olarak

MSE(T) = \frac{4\theta^4}{n} + (\theta^2)^2 = \frac{4\theta^4}{n} + \theta^4 = \frac{n+4}{n}\theta^4

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

T

tahmin edicisinin beklenen değerini ve yan miktarını (Bias) hesaplayın.

E[T] = 2\theta^2

ve

Bias(T) = \theta^2

MSE hesaplaması için öncelikle tahmin edicinin parametreden ne kadar saptığını (yanlılık durumunu) bulmak gerekir.

2

T

tahmin edicisinin varyansını hesaplayın.

Var(X^2) = 4\theta^4

olduğu için

Var(T) = \frac{4\theta^4}{n}

Varyans, MSE formülünün (MSE = Varyans + Yan^2) temel bileşenlerinden biridir.

3

Varyans ve yan miktarının karesini toplayarak MSE'yi elde edin.

MSE(T) = \frac{4\theta^4}{n} + (\theta^2)^2 = \frac{n+4}{n}\theta^4

Hata kareler ortalaması (MSE), varyans ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE) ve Yanlı Tahmin Ediciler

Question 9Question →

Bir endüstriyel üretim hattında üretilen elektronik sensörlerin arıza süreleri $X$ , aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip bir dağılım ile modellenmektedir:

f(x;\theta) = \begin{cases} e^{\theta - x}, & x > \theta \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametre olup sensörün garanti edilen minimum çalışma süresini göstermektedir. Rassal olarak seçilen $n$ adet sensörün arıza süreleri $X_1, X_2, \dots, X_n$ olmak üzere, $\theta$ parametresini tahmin etmek için $T = \min(X_1, X_2, \dots, X_n)$ istatistiği (birinci sıra istatistiği) öneriliyor.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin $\theta$ için Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{n^2}

\frac{n+1}{n^2}

\frac{2}{n^2}

\frac{n^2+1}{n^2}

\frac{1}{n}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{2}{n^2}$

Answer

\frac{2}{n^2}

ifadesini veren seçenek doğru cevaptır.

Hata Kareler Ortalaması (MSE), varyans ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir (

MSE = Var(T) + Bias^2

).

T = \min(X_1, \dots, X_n)

istatistiği için kaydırılmış üstel dağılımın özellikleri kullanıldığında varyans

1/n^2

ve yan miktarı

1/n

olarak bulunur. Bunların formülde yerine konulup toplanmasıyla

(1/n^2) + (1/n)^2 = 2/n^2

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

T

tahmin edicisinin (1. sıra istatistiği) dağılımını belirleme

P(X > x) = e^{\theta - x}

olduğundan,

P(T > t) = [P(X > t)]^n = e^{n(\theta - t)}

elde edilir. Buradan

T

'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_T(t) = n e^{n(\theta - t)}

(

t > \theta

) olarak bulunur.

T

tahmin edicisinin beklenen değerini ve varyansını hesaplayabilmek için kendi dağılımının bilinmesi gerekir.

2

T

tahmin edicisinin beklenen değerini ve yan miktarını (Bias) hesaplama

Bu dağılım, kaydırma parametresi

\theta

ve ölçek parametresi

1/n

olan üstel bir dağılımdır. Dolayısıyla

E[T] = \theta + \frac{1}{n}

bulunur. Buradan

Bias(T) = E[T] - \theta = \frac{1}{n}

elde edilir.

MSE formülündeki yan (bias) bileşenini bulmak için.

3

T

tahmin edicisinin varyansını hesaplama

Üstel dağılımın özelliği gereği varyans,

(1/n)^2 = \frac{1}{n^2}

olarak bulunur.

MSE formülündeki varyans bileşenini bulmak için.

4

Hata Kareler Ortalamasını (MSE) hesaplama

MSE(T) = Var(T) + [Bias(T)]^2 = \frac{1}{n^2} + \left(\frac{1}{n}\right)^2 = \frac{2}{n^2}

olarak hesaplanır.

Tüm hesaplanan bileşenleri temel MSE formülünde yerine koyarak nihai sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Question 10Question →

Bir bulut depolama sisteminde, kullanıcıların yüklediği büyük boyutlu dosyaların boyutu (GB cinsinden) $X$ rassal değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu, $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametre olmak üzere aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x;\theta) = \begin{cases} \frac{3\theta^3}{x^4}, & x > \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu dağılımdan çekilen $n$ çaplı bağımsız bir rastgele örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ olsun. Sistem analisti, bilinmeyen $\theta$ parametresini tahmin etmek için örneklem ortalaması $T = \bar{X}$ tahmin edicisini önermiştir.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin $\theta$ parametresi için Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{(n+3)\theta^2}{4n}

\frac{3\theta^2}{4n}

\frac{(9n+3)\theta^2}{4n}

\theta^2

\frac{(3-n)\theta^2}{4n}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{(n+3)\theta^2}{4n}$

Answer

Hata Kareler Ortalaması (MSE),

\frac{(n+3)\theta^2}{4n}

değerine eşittir.

Hata Kareler Ortalaması (MSE), tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir. Örneklem ortalamasının beklenen değeri

E[\bar{X}] = \frac{3\theta}{2}

hesaplandığından tahmin edici yanlıdır ve yan miktarı

\frac{3\theta}{2} - \theta = \frac{\theta}{2}

olur. Örneklem ortalamasının varyansı ise kitle varyansının

n

'e bölümü ile

Var(\bar{X}) = \frac{3\theta^2}{4n}

olarak bulunur. Bu iki değer

MSE = Var + Yan^2

formülünde yerine konulduğunda

\frac{3\theta^2}{4n} + \frac{\theta^2}{4} = \frac{(n+3)\theta^2}{4n}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

X

rassal değişkeninin beklenen değerini (

E[X]

) hesaplama.

E[X] = \int_{\theta}^{\infty} x \frac{3\theta^3}{x^4} dx = 3\theta^3 \int_{\theta}^{\infty} x^{-3} dx = 3\theta^3 \left[ \frac{x^{-2}}{-2} \right]_{\theta}^{\infty} = \frac{3\theta}{2}

Tahmin edici olan örneklem ortalamasının beklenen değerini bulmak için kitle ortalamasına ihtiyaç vardır.

2

X

rassal değişkeninin varyansını (

Var(X)

) hesaplama.

E[X^2] = \int_{\theta}^{\infty} x^2 \frac{3\theta^3}{x^4} dx = 3\theta^2

. Buradan

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 3\theta^2 - \left(\frac{3\theta}{2}\right)^2 = \frac{3\theta^2}{4}

Örneklem ortalamasının varyansını bulabilmek için kitle varyansı bilinmelidir.

3

T = \bar{X}

tahmin edicisinin beklenen değerini ve varyansını belirleme.

E[\bar{X}] = E[X] = \frac{3\theta}{2}

ve

Var(\bar{X}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{3\theta^2}{4n}

MSE hesaplamasında kullanılacak olan tahmin ediciye ait istatistiksel özelliklerin türetilmesi gerekir.

4

Tahmin edicinin yan miktarını (

Yan(\hat{\theta})

) hesaplama.

Yan(\bar{X}) = E[\bar{X}] - \theta = \frac{3\theta}{2} - \theta = \frac{\theta}{2}

Tahmin edici yansız olmadığından (

E[\bar{X}] \neq \theta

), formüle eklenecek sapma (yan) miktarı bulunmalıdır.

5

Hata Kareler Ortalamasını (MSE) formül üzerinden elde etme.

MSE(\bar{X}) = Var(\bar{X}) + (Yan(\bar{X}))^2 = \frac{3\theta^2}{4n} + \left(\frac{\theta}{2}\right)^2 = \frac{3\theta^2}{4n} + \frac{n\theta^2}{4n} = \frac{(n+3)\theta^2}{4n}

Bir tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması, varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Key Concept

Tahmin edicilerde MSE (Hata Kareler Ortalaması) hesaplaması:

MSE(\hat{\theta}) = Var(\hat{\theta}) + [Yan(\hat{\theta})]^2

Question 11Question →

Bir üniversitede uygulanan çevrimiçi bir sınavda, öğrencilerin sınavı tamamlama süreleri (dakika cinsinden) $X$ rassal değişkeni ile modellenmektedir. Çoğu öğrencinin süreyi sonuna kadar kullandığı gözlemlenmiş olup, $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu $\theta > 0$ (sınavın maksimum süresi) olmak üzere aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{4x^3}{\theta^4}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Sınavı tamamlayan öğrenciler arasından alınan $n$ birimlik rastgele bir örneklemin ortalaması $\bar{X}$ 'tir. Sınav sisteminin analiz modülü, bilinmeyen maksimum $\theta$ süresini tahmin etmek için $T = \bar{X}$ istatistiğini kullanmaktadır.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin $\theta$ parametresi için Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{2}{75n}\theta^2

\frac{1}{24n}\theta^2

\frac{3n+2}{75n}\theta^2

\frac{48n+2}{75n}\theta^2

\frac{15n+2}{75n}\theta^2

Show answer & explanation

Answer: $\frac{3n+2}{75n}\theta^2$

Answer

MSE(T) = \frac{3n+2}{75n}\theta^2

ifadesidir.

Doğru Hata Kareler Ortalaması (MSE) değeri hesaplanırken, öncelikle örneklem ortalamasının beklenen değeri ve varyansı bulunur. Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonunun integrali üzerinden

E[X] = \frac{4}{5}\theta

ve

Var(X) = \frac{2}{75}\theta^2

elde edilir. Buradan

T=\bar{X}

'in yanlı bir tahmin edici olduğu görülür çünkü beklenen değeri parametrenin kendisine değil,

\frac{4}{5}

'ine eşittir. Yan (Bias) miktarı

E[\bar{X}] - \theta = -\frac{1}{5}\theta

olur. MSE formülü

MSE = Var(\bar{X}) + Bias^2

olduğundan,

\frac{2}{75n}\theta^2 + (-\frac{1}{5}\theta)^2 = \frac{2}{75n}\theta^2 + \frac{1}{25}\theta^2

işlemi yapılır. Paydalar

75n

değerinde eşitlendiğinde sonuç

\frac{3n+2}{75n}\theta^2

olarak eksiksiz bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kitle dağılımının beklenen değerini (

E[X]

) ve varyansını (

Var(X)

) hesaplayın.

E[X] = \int_0^\theta x \frac{4x^3}{\theta^4} dx = \left[ \frac{4x^5}{5\theta^4} \right]_0^\theta = \frac{4}{5}\theta

E[X^2] = \int_0^\theta x^2 \frac{4x^3}{\theta^4} dx = \left[ \frac{4x^6}{6\theta^4} \right]_0^\theta = \frac{2}{3}\theta^2

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{2}{3}\theta^2 - \left(\frac{4}{5}\theta\right)^2 = \frac{50-48}{75}\theta^2 = \frac{2}{75}\theta^2

Örneklem ortalamasının özelliklerini türetebilmek için öncelikle popülasyonun (kitlenin) beklenen değeri ve varyansı bulunmalıdır.

2

T = \bar{X}

tahmin edicisinin beklenen değerini ve varyansını belirleyin.

E[\bar{X}] = E[X] = \frac{4}{5}\theta

Var(\bar{X}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{2}{75n}\theta^2

Örneklem ortalamasının dağılımına ait özellikler bağımsız örneklemler üzerinden ifade edilir.

3

Tahmin edicinin yan (bias) miktarını türetin ve karesini alın.

Bias(\bar{X}) = E[\bar{X}] - \theta = \frac{4}{5}\theta - \theta = -\frac{1}{5}\theta

Bias(\bar{X})^2 = \left(-\frac{1}{5}\theta\right)^2 = \frac{1}{25}\theta^2

Tahmin edici yansız olmadığı için (

E[\bar{X}] \neq \theta

), Hata Kareler Ortalaması hesabında yan miktarının karesine ihtiyaç vardır.

4

Hata Kareler Ortalaması (MSE) formülünü uygulayın.

MSE(\bar{X}) = Var(\bar{X}) + Bias(\bar{X})^2 = \frac{2}{75n}\theta^2 + \frac{1}{25}\theta^2

Paydaları

75n

üzerinde eşitlediğimizde (

\frac{1}{25}\theta^2 = \frac{3n}{75n}\theta^2

):

MSE(\bar{X}) = \frac{3n+2}{75n}\theta^2

Bir tahmin edicinin genel performansı MSE üzerinden varyans ve yan karesi toplamı ile ifade edilir.

Key Concept

Tahmin ediciler için yansızlık durumunun kontrol edilmesi ve yanlı tahmin edicilerde performansın MSE (Hata Kareler Ortalaması = Varyans + Yan^2) kullanılarak ölçülmesi.

Question 12Question →

Bir madencilik işletmesinde çıkarılan cevherlerdeki belirli bir mineralin yoğunluğu $X$ rassal değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{3x^2}{\theta^3}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametredir. Bu dağılımdan çekilen $n$ birimlik rastgele bir örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ ve örneklem ortalaması $\bar{X}$ olmak üzere, $\theta$ parametresini tahmin etmek için $T = 2\bar{X}$ tahmin edicisi önerilmiştir.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{(5n+3)\theta^2}{20n}

\frac{3\theta^2}{20n}

\frac{(10n+3)\theta^2}{40n}

\frac{(5n+3)\theta^2}{80n}

\frac{(5n+12)\theta^2}{80n}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{(5n+3)\theta^2}{20n}$

Answer

\frac{(5n+3)\theta^2}{20n}

ifadesidir. Hata Kareler Ortalaması (MSE), tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Doğru seçenek, hata kareler ortalamasının (MSE) varyans ve yan miktarının karesinin toplamı (

MSE = Var(T) + [Bias(T)]^2

) kuralına uygun olarak eksiksiz hesaplandığı ifadedir.

Var(T) = \frac{3\theta^2}{20n}

ve

Bias(T)^2 = \frac{\theta^2}{4}

değerleri payda eşitlenerek toplandığında

\frac{(5n+3)\theta^2}{20n}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Kitlenin beklenen değerini (

E[X]

) ve varyansını (

Var(X)

) hesapla.

E[X] = \int_{0}^{\theta} x \frac{3x^2}{\theta^3} dx = \frac{3}{\theta^3} [\frac{x^4}{4}]_{0}^{\theta} = \frac{3\theta}{4}

.

E[X^2] = \int_{0}^{\theta} x^2 \frac{3x^2}{\theta^3} dx = \frac{3\theta^2}{5}

.

Var(X) = \frac{3\theta^2}{5} - (\frac{3\theta}{4})^2 = \frac{3\theta^2}{80}

.

Örneklem ortalamasına dayalı bir istatistiğin özelliklerini bulmak için kitle momentlerine ihtiyaç vardır.

2

T = 2\bar{X}

tahmin edicisinin beklenen değerini ve yan (bias) miktarını hesapla.

E[T] = 2 E[\bar{X}] = 2(\frac{3\theta}{4}) = \frac{3\theta}{2}

. Yan miktarı:

Bias(T) = E[T] - \theta = \frac{3\theta}{2} - \theta = \frac{\theta}{2}

.

MSE formülünde kullanılacak olan tahmin edicinin yanlılık durumunu belirlemek gereklidir.

3

T = 2\bar{X}

tahmin edicisinin varyansını hesapla.

Var(T) = Var(2\bar{X}) = 4 Var(\bar{X}) = 4 (\frac{Var(X)}{n}) = 4 (\frac{3\theta^2}{80n}) = \frac{3\theta^2}{20n}

.

MSE formülünün ikinci bileşeni olan varyans değerini bulmak gerekir.

4

MSE(T) = Var(T) + Bias(T)^2

formülünü uygula.

MSE(T) = \frac{3\theta^2}{20n} + (\frac{\theta}{2})^2 = \frac{3\theta^2}{20n} + \frac{\theta^2}{4} = \frac{3\theta^2 + 5n\theta^2}{20n} = \frac{(5n+3)\theta^2}{20n}

.

Yanlı bir tahmin edicinin performansını değerlendirmek için toplam hata (MSE) formülünün kullanılması kuraldır.

Key Concept

Yanlı Tahmin Edicilerde Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Estimated Time:2m 30s

Question 13Question →

Bir elektronik fabrikasında üretilen mikroçiplerin belirli bir yükleme altındaki maksimum çalışma gerilimi $X$ (volt cinsinden) rassal değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, $\theta > 0$ parametresi için aşağıda verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2(\theta - x)}{\theta^2}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Bu kitle içinden seçilen $n$ birimlik bir örneklemin ortalaması olan $\bar{X}$ istatistiği, $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla kullanılmaktadır. Buna göre, $\bar{X}$ tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{(8n+1)\theta^2}{18n}

\frac{\theta^2}{18n}

\frac{(2n+1)\theta^2}{18n}

\frac{(8n+1)\theta^2}{18}

\frac{(n+8)\theta^2}{18n}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{(8n+1)\theta^2}{18n}$

Answer

\frac{(8n+1)\theta^2}{18n}

Yapılan hesaplamalar sonucunda kitlenin varyansının

\theta^2/18

, tahmin edicinin yan miktarının ise

-2\theta/3

olduğu görülmüştür.

MSE = Var + Bias^2

formülüne göre bu değerler yerine konulduğunda

((8n+1)\theta^2)/(18n)

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Kitlenin beklenen değerini (

E[X]

) hesaplayınız.

E[X] = \int_{0}^{\theta} x \frac{2(\theta - x)}{\theta^2} dx = \frac{2}{\theta^2} \left[ \frac{\theta x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^{\theta} = \frac{2}{\theta^2} \left( \frac{\theta^3}{2} - \frac{\theta^3}{3} \right) = \frac{\theta}{3}

Yan (bias) miktarını belirlemek için öncelikle tahmin edicinin beklenen değeri (

E[\bar{X}] = E[X]

) bulunmalıdır.

2

Kitlenin varyansını (

Var(X)

) hesaplayınız.

E[X^2] = \int_{0}^{\theta} x^2 \frac{2(\theta - x)}{\theta^2} dx = \frac{2}{\theta^2} \left[ \frac{\theta x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^{\theta} = \frac{\theta^2}{6}

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{\theta^2}{6} - \left(\frac{\theta}{3}\right)^2 = \frac{3\theta^2 - 2\theta^2}{18} = \frac{\theta^2}{18}

MSE hesaplamasında kullanılacak olan varyans bileşenini bulmak gerekir.

3

\bar{X}

tahmin edicisinin yan (bias) miktarını ve varyansını bulunuz.

Bias(\bar{X}) = E[\bar{X}] - \theta = \frac{\theta}{3} - \theta = -\frac{2\theta}{3}

Var(\bar{X}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{\theta^2}{18n}

Örneklem ortalamasının özellikleri kitle özelliklerinden türetilir.

4

Hata Kareler Ortalaması (MSE) formülünü uygulayınız.

MSE(\bar{X}) = Var(\bar{X}) + [Bias(\bar{X})]^2 = \frac{\theta^2}{18n} + \left(-\frac{2\theta}{3}\right)^2 = \frac{\theta^2}{18n} + \frac{4\theta^2}{9} = \frac{\theta^2 + 8n\theta^2}{18n} = \frac{(8n+1)\theta^2}{18n}

MSE, tahmin edicinin hem değişkenliğini (varyans) hem de doğruluğunu (yan) ölçen birleşik bir kriterdir.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE) = Varyans + (Yan)^2

Practice More

Farklı bir tahmin edici olarak

T = 3\bar{X}

istatistiğinin yansız olup olmadığını kontrol edip MSE değerini hesaplayarak karşılaştırma yapabilirsiniz.

Estimated Time:2m 0s

Question 14Question →

Bir barajdaki günlük su buharlaşma miktarı (milimetre cinsinden) $X$ rassal değişkeni, $\theta > 0$ olmak üzere aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonu ile modellenmektedir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{4x^3}{\theta^4}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Bu kitleden çekilen $n$ birimlik bir rassal örneklem için örneklem ortalaması $\bar{X}$ tahmin edicisinin $\theta$ parametresi için Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{(3n+2)\theta^2}{75n}

\frac{2\theta^2}{75n}

\frac{(3n+1)\theta^2}{75n}

\frac{\theta^2}{25}

\frac{(n+2)\theta^2}{75n}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{(3n+2)\theta^2}{75n}$

Answer

Örneklem ortalaması

\bar{X}

tahmin edicisinin

\theta

parametresi için Hata Kareler Ortalaması

\frac{(3n+2)\theta^2}{75n}

olarak bulunur.

Tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması (MSE), varyansı (

2\theta^2/75n

) ile yan miktarının karesinin (

[-\theta/5]^2 = \theta^2/25

) toplamıdır. Bu iki terim toplandığında payda eşitleme sonucu

(3n+2)\theta^2/75n

ifadesine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

X

rassal değişkeninin beklenen değerini (

E[X]

) hesaplayın.

E[X] = \int_{0}^{\theta} x \cdot \frac{4x^3}{\theta^4} dx = \frac{4}{\theta^4} \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{\theta} = \frac{4\theta}{5}

Tahmin edicinin beklenen değerini ve yan (bias) miktarını bulmak için kitlenin beklenen değerine ihtiyaç vardır.

2

X

rassal değişkeninin varyansını (

Var(X)

) hesaplayın.

E[X^2] = \int_{0}^{\theta} x^2 \cdot \frac{4x^3}{\theta^4} dx = \frac{4}{\theta^4} \left[ \frac{x^6}{6} \right]_{0}^{\theta} = \frac{2\theta^2}{3}

olduğundan;

Var(X) = \frac{2\theta^2}{3} - \left( \frac{4\theta}{5} \right)^2 = \frac{2\theta^2}{3} - \frac{16\theta^2}{25} = \frac{50\theta^2 - 48\theta^2}{75} = \frac{2\theta^2}{75}

Tahmin edicinin varyansını hesaplamak için kitlenin varyansının bilinmesi gerekir.

3

Tahmin edicinin beklenen değerini ve yan (bias) miktarını hesaplayın.

E[\bar{X}] = E[X] = \frac{4\theta}{5}

Yan(\bar{X}) = E[\bar{X}] - \theta = \frac{4\theta}{5} - \theta = -\frac{\theta}{5}

MSE formülünde yer alan yan (bias) bileşenini belirlemek için gereklidir.

4

Tahmin edicinin varyansını hesaplayın.

Var(\bar{X}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{2\theta^2}{75n}

MSE formülündeki varyans bileşenini belirlemek için gereklidir.

5

MSE = Var + Yan^2

formülünü kullanarak sonucu bulun.

MSE(\bar{X}) = \frac{2\theta^2}{75n} + \left( -\frac{\theta}{5} \right)^2 = \frac{2\theta^2}{75n} + \frac{\theta^2}{25}

MSE(\bar{X}) = \frac{2\theta^2 + 3n\theta^2}{75n} = \frac{(3n+2)\theta^2}{75n}

Hata Kareler Ortalaması, varyans ve yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE), bir tahmin edicinin hem değişkenliğini (varyans) hem de doğruluğunu (yansızlık/yan) aynı anda ölçen pedagojik bir ölçüttür.

Practice More

Tahmin edicinin yansız olması için örneklem ortalamasının hangi katsayı ile çarpılması gerektiğini düşünerek UMVUE kavramını araştırabilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 15Question →

Bir tekstil fabrikasında kumaşların dayanıklılık testi sonuçları $X$ rassal değişkeni ile modellenmektedir. $\theta > 0$ olmak üzere, $X$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x; \theta) = \frac{3(\theta-x)^2}{\theta^3}, \quad 0 < x < \theta

Bu kitleden seçilen $n$ birimlik bir örneklem için $\bar{X}$ örneklem ortalaması olmak üzere, $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla $T = 2\bar{X}$ tahmin edicisi önerilmiştir. Buna göre, $T$ tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{(5n+3)\theta^2}{20n}

\frac{3\theta^2}{20n}

\frac{(2n+3)\theta^2}{20n}

\frac{(5n+1)\theta^2}{20n}

\frac{(3n+5)\theta^2}{20n}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{(5n+3)\theta^2}{20n}$

Answer

Tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması

\frac{(5n+3)\theta^2}{20n}

ifadesine eşittir.

Tahmin edicinin beklenen değeri

E[T] = \theta/2

olup

\theta

parametresinden farklıdır, bu nedenle yan miktarı

-\theta/2

olur. Varyans terimi ile bu yan miktarının karesi (

\theta^2/4

) toplandığında payda eşitleme sonucu doğru ifadeye ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Kitle beklenen değerini (

E[X]

) hesaplayın.

E[X] = \int_0^\theta x \frac{3(\theta-x)^2}{\theta^3} dx = \frac{\theta}{4}

Örneklem ortalamasının beklenen değerini bulmak için kitlenin beklenen değeri gereklidir.

2

Kitle varyansını (

Var(X)

) hesaplayın.

E[X^2] = \frac{\theta^2}{10} \Rightarrow Var(X) = \frac{\theta^2}{10} - \left(\frac{\theta}{4}\right)^2 = \frac{3\theta^2}{80}

Tahmin edicinin varyansını hesaplamak için kitle varyansına ihtiyaç vardır.

3

Tahmin edicinin varyansını (

Var(T)

) ve yan (bias) miktarını hesaplayın.

Var(T) = 4 \frac{Var(X)}{n} = \frac{3\theta^2}{20n}

ve

Bias(T) = E[2\bar{X}] - \theta = 2\frac{\theta}{4} - \theta = -\frac{\theta}{2}

MSE formülü varyans ve yan miktarının karesinin toplamından oluşur.

4

MSE formülünü uygulayın.

MSE(T) = Var(T) + [Bias(T)]^2 = \frac{3\theta^2}{20n} + \frac{\theta^2}{4} = \frac{(5n+3)\theta^2}{20n}

Tanım gereği Hata Kareler Ortalaması, varyans ile yan karesinin toplamıdır.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE) bileşenleri

Question 16Question →

Bir trafik şube müdürlüğünde, vatandaşların ehliyet yenileme işlemleri için katettikleri mesafe ( $x$ ), $\theta > 0$ olmak üzere aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonu ile modellenmektedir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2(\theta - x)}{\theta^2}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Bu kitleden çekilen $n$ birimlik bir rastgele örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ ve örneklem ortalaması $\bar{X}$ olmak üzere, $\theta$ parametresi için önerilen $T = 2\bar{X}$ tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması ( $MSE(T)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{(n+2)\theta^2}{9n}

\frac{2\theta^2}{9n}

\frac{(n+1)\theta^2}{9n}

\frac{\theta^2}{9}

\frac{(n+2)\theta^2}{18n}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{(n+2)\theta^2}{9n}$

Answer

Tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması

\frac{(n+2)\theta^2}{9n}

ifadesine eşittir.

Tahmin edicinin beklenen değeri

2\theta/3

olduğu için yan miktarı

-\theta/3

olarak bulunur. Varyansı ise

2\theta^2/9n

şeklindedir. MSE, varyans ile yan miktarının karesinin toplamı olduğundan, bu iki değer toplandığında sonuç payda eşitleme ile elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kitlenin beklenen değerini (

E[X]

) hesaplayın.

E[X] = \int_0^\theta x \frac{2(\theta - x)}{\theta^2} dx = \frac{2}{\theta^2} \left[ \frac{\theta x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^\theta = \frac{2}{\theta^2} \left( \frac{\theta^3}{6} \right) = \frac{\theta}{3}

Tahmin edicinin beklenen değerini ve yan (bias) miktarını belirlemek için gereklidir.

2

Kitlenin varyansını (

Var(X)

) hesaplayın.

E[X^2] = \int_0^\theta x^2 \frac{2(\theta - x)}{\theta^2} dx = \frac{2}{\theta^2} \left( \frac{\theta^4}{12} \right) = \frac{\theta^2}{6}

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{\theta^2}{6} - \frac{\theta^2}{9} = \frac{\theta^2}{18}

Tahmin edicinin varyansını bulmak için temel kitle varyansı gereklidir.

3

Tahmin edicinin beklenen değerini ve yan miktarını bulun.

E[T] = E[2\bar{X}] = 2 E[X] = \frac{2\theta}{3}

Yan(T) = E[T] - \theta = \frac{2\theta}{3} - \theta = -\frac{\theta}{3}

MSE formülündeki yan (bias) bileşenini belirlemek için gereklidir.

4

Tahmin edicinin varyansını hesaplayın.

Var(T) = Var(2\bar{X}) = 4 Var(\bar{X}) = 4 \frac{Var(X)}{n} = \frac{4\theta^2}{18n} = \frac{2\theta^2}{9n}

MSE formülündeki varyans bileşenini belirlemek için gereklidir.

5

Hata Kareler Ortalamasını (

MSE

) hesaplayın.

MSE(T) = Var(T) + [Yan(T)]^2 = \frac{2\theta^2}{9n} + \left(-\frac{\theta}{3}\right)^2 = \frac{2\theta^2}{9n} + \frac{\theta^2}{9} = \frac{(n+2)\theta^2}{9n}

MSE = Varyans + Yan^2

formülünü uygulayarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE), bir tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Estimated Time:2m 30s

Question 17Question →

Bir enerji dağıtım şirketi, belirli bir bölgedeki günlük elektrik tüketimindeki dalgalanmaları $X$ (megawatt cinsinden) rassal değişkeni ile izlemektedir. $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametre olmak üzere, $X$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{5x^4}{\theta^5}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Şirket, $\theta$ değerini tahmin etmek amacıyla bu kitleden $n$ birimlik bir rastgele örneklem seçmiş ve $\bar{X}$ örneklem ortalamasını bir tahmin edici olarak önermiştir. Buna göre, $\bar{X}$ tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{5\theta^2}{252n}

\frac{(7n+5)\theta^2}{252n}

\frac{(n+5)\theta^2}{252n}

\frac{(7n+1)\theta^2}{252n}

\frac{(5n+7)\theta^2}{252n}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{(7n+5)\theta^2}{252n}$

Answer

Tahmin edicinin hata kareler ortalaması

\frac{(7n+5)\theta^2}{252n}

olarak hesaplanır.

Tahmin edicinin beklenen değeri

5/6\theta

olup,

\theta

parametresi için yanlı bir tahmin edicidir. Hata kareler ortalaması, tahmin edicinin varyansı olan

5\theta^2/252n

ile yan miktarının karesi olan

\theta^2/36

değerlerinin toplanmasıyla elde edilen payda eşitlenmiş halidir.

Step-by-Step Solution

1

Kitlenin beklenen değerini hesaplayın.

E[X] = \int_{0}^{\theta} x \cdot \frac{5x^4}{\theta^5} dx = \frac{5}{\theta^5} [\frac{x^6}{6}]_0^{\theta} = \frac{5}{6}\theta

Tahmin edicinin yanlı olup olmadığını belirlemek ve varyans hesabında kullanmak için kitlenin ortalaması gereklidir.

2

Kitlenin varyansını hesaplayın.

E[X^2] = \int_{0}^{\theta} x^2 \cdot \frac{5x^4}{\theta^5} dx = \frac{5}{7}\theta^2

. Buradan

Var(X) = \frac{5}{7}\theta^2 - (\frac{5}{6}\theta)^2 = \frac{180-175}{252}\theta^2 = \frac{5}{252}\theta^2

.

Örneklem ortalamasının varyansını bulmak için kitlenin varyansına ihtiyaç vardır.

3

Tahmin edicinin beklenen değerini ve varyansını bulun.

E[\bar{X}] = E[X] = \frac{5}{6}\theta

ve

Var(\bar{X}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{5\theta^2}{252n}

.

MSE formülündeki bileşenleri elde etmek için istatistiğin örnekleme dağılımı özellikleri kullanılır.

4

Yan (bias) miktarını hesaplayın.

Yan(\bar{X}) = E[\bar{X}] - \theta = \frac{5}{6}\theta - \theta = -\frac{1}{6}\theta

.

Tahmin edici parametreye eşit olmadığından MSE hesabına yan miktarının karesi eklenmelidir.

5

MSE formülünü uygulayın.

MSE(\bar{X}) = Var(\bar{X}) + [Yan(\bar{X})]^2 = \frac{5\theta^2}{252n} + (-\frac{1}{6}\theta)^2 = \frac{5\theta^2}{252n} + \frac{\theta^2}{36} = \frac{5\theta^2 + 7n\theta^2}{252n}

.

Hata kareler ortalaması, varyans ve yan miktarının karesinin toplamıdır.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE) Hesabı

Practice More

Tahmin edicinin katsayısı değiştirilerek yansız hale getirilmesi durumunda varyansın nasıl değişeceğini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 18Question →

Bir devlet fidanlığında yeni yetiştirilen fidanların yıllık boy uzama miktarı $X$ (santimetre cinsinden) rassal değişkeni, $\theta > 0$ olmak üzere aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir:

f(x; \theta) = \frac{1}{\theta}, \quad 0 < x < \theta

Bu fidanlıktan rastgele seçilen bir fidanın boy uzama miktarı ( $x$ ) gözlemlenerek, maksimum uzama sınırı olan $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla $T = X$ tahmin edicisi önerilmiştir. Buna göre, $T$ tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması ( $MSE$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\theta^2}{12}

\frac{\theta^2}{4}

\frac{\theta^2}{3}

\frac{\theta^2}{6}

\frac{2\theta^2}{3}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{\theta^2}{3}$

Answer

Tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması

\frac{\theta^2}{3}

olarak hesaplanır.

Tahmin edici olan

T=X

değişkeninin beklenen değeri

\theta/2

olup

-\theta/2

miktarında bir yanlılığa sahiptir. Bu yan miktarının karesi (

\theta^2/4

) ile tahmin edicinin varyansı (

\theta^2/12

) toplandığında toplam hata kareler ortalaması

\theta^2/3

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Tahmin edicinin beklenen değerini hesapla.

E[T] = E[X] = \int_{0}^{\theta} x \cdot \frac{1}{\theta} dx = \left[ \frac{x^2}{2\theta} \right]_{0}^{\theta} = \frac{\theta}{2}

Yansızlık durumunu kontrol etmek ve yan (bias) miktarını bulmak için beklenen değer gereklidir.

2

Yan (bias) miktarını ve karesini hesapla.

Yan(T) = E[T] - \theta = \frac{\theta}{2} - \theta = -\frac{\theta}{2}

ve

[Yan(T)]^2 = \frac{\theta^2}{4}

MSE formülündeki yan bileşenini belirlemek için parametre ile beklenen değer arasındaki fark alınır.

3

Tahmin edicinin varyansını hesapla.

E[X^2] = \int_{0}^{\theta} x^2 \cdot \frac{1}{\theta} dx = \frac{\theta^2}{3}

buradan

V(T) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{\theta^2}{3} - \frac{\theta^2}{4} = \frac{\theta^2}{12}

MSE hesaplamasının ikinci ana bileşeni olan varyansı bulmak için momentlerden yararlanılır.

4

MSE formülünü uygula.

MSE(T) = V(T) + [Yan(T)]^2 = \frac{\theta^2}{12} + \frac{\theta^2}{4} = \frac{\theta^2 + 3\theta^2}{12} = \frac{4\theta^2}{12} = \frac{\theta^2}{3}

Bir tahmin edicinin toplam hatası, varyansı ve yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE), bir tahmin edicinin kalitesini ölçen ve

MSE(T) = Var(T) + [Bias(T)]^2

şeklinde tanımlanan temel bir istatistiksel ölçüttür.

Alternative Method

MSE değeri doğrudan tanım gereği

E[(T-\theta)^2]

integrali ile de hesaplanabilir:

\int_{0}^{\theta} (x-\theta)^2 \frac{1}{\theta} dx

işlemi yapılarak aynı sonuca ulaşılabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 19Question →

$\theta$ bir parametre olmak üzere, bir kitlenin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x; \theta) = \begin{cases} 1, & \theta < x < \theta + 1 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Bu kitleden alınan $n=1$ birimlik bir örneklem (tek bir $X$ gözlemi) kullanılarak $\theta$ parametresi için $T = X$ tahmin edicisi önerilmektedir. Buna göre, $T$ tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{12}

\frac{1}{4}

\frac{1}{3}

\frac{7}{12}

\frac{1}{6}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{3}$

Answer

Tahmin edicinin varyansı olan

1/12

ile yan miktarının karesi olan

1/4

değerlerinin toplamı

1/3

sonucunu verir.

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonuna göre tek bir gözlemin beklenen değeri

\theta + 0,5

olup yan miktarı

0,5

'dir. Varyansı ise

1/12

'dir.

MSE = Var + Bias^2

formülüne göre

1/12 + (0,5)^2 = 1/12 + 1/4 = 4/12 = 1/3

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Tahmin edicinin beklenen değerini (

E[T]

) hesaplayınız.

E[T] = E[X] = \int_{\theta}^{\theta+1} x \cdot 1 \, dx = \theta + 0,5

Düzgün dağılımın beklenen değeri uç noktaların aritmetik ortalamasıdır.

2

Tahmin edicinin yan miktarını (

Bias

) hesaplayınız.

Bias(T, \theta) = E[T] - \theta = (\theta + 0,5) - \theta = 0,5

Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile gerçek parametre değeri arasındaki farktır.

3

Tahmin edicinin varyansını (

Var[T]

) hesaplayınız.

Var(T) = Var(X) = \frac{(\theta+1 - \theta)^2}{12} = \frac{1}{12}

Düzgün dağılımın varyansı

(b-a)^2/12

formülü ile hesaplanır.

4

Hata Kareler Ortalaması (MSE) formülünü uygulayınız.

MSE(T) = Var(T) + [Bias(T, \theta)]^2 = \frac{1}{12} + (0,5)^2 = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

MSE, varyans ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesaplanırken varyans ile yan miktarının karesi toplanır.

Question 20Question →

Bir istatistiksel modellemede kullanılan $X$ rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, $\theta > 0$ parametresine bağlı olarak aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2x}{\theta^2}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Bu kitleden alınan bir birimlik $X$ gözlemi, $\theta$ parametresini tahmin etmek amacıyla $T = X$ şeklinde bir tahmin edici olarak önerilmektedir.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{\theta^2}{18}

\frac{\theta^2}{9}

\frac{\theta^2}{6}

\frac{2\theta}{3}

\frac{\theta^2}{2}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{\theta^2}{6}$

Answer

Tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması (MSE)

\frac{\theta^2}{6}

olarak hesaplanır.

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu kullanılarak yapılan hesaplamada, tahmin edicinin varyansı

\theta^2/18

ve yan miktarının karesi

\theta^2/9

olarak bulunmuştur. MSE tanımı gereği bu iki değerin toplamı olan

\theta^2/6

doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1

Tahmin edicinin beklenen değerini hesapla.

E[T] = E[X] = \int_{0}^{\theta} x \cdot \frac{2x}{\theta^2} dx = \int_{0}^{\theta} \frac{2x^2}{\theta^2} dx = \left[ \frac{2x^3}{3\theta^2} \right]_{0}^{\theta} = \frac{2\theta}{3}

Yansızlık ve MSE hesabı için öncelikle tahmin edicinin ortalaması bulunmalıdır.

2

Tahmin edicinin varyansını hesapla.

E[X^2] = \int_{0}^{\theta} x^2 \cdot \frac{2x}{\theta^2} dx = \frac{\theta^2}{2}

ve

Var(T) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{\theta^2}{2} - (\frac{2\theta}{3})^2 = \frac{\theta^2}{18}

MSE formülünün temel bileşenlerinden biri olan varyansın belirlenmesi gerekir.

3

Yan (bias) miktarını ve karesini hesapla.

Yan(T) = E[T] - \theta = \frac{2\theta}{3} - \theta = -\frac{\theta}{3} \Rightarrow Yan^2(T) = \frac{\theta^2}{9}

Tahmin edici yansız olmadığı için yan miktarının karesi MSE hesabına dahil edilmelidir.

4

Hata Kareler Ortalamasını (MSE) birleştir.

MSE(T) = Var(T) + Yan^2(T) = \frac{\theta^2}{18} + \frac{\theta^2}{9} = \frac{\theta^2 + 2\theta^2}{18} = \frac{3\theta^2}{18} = \frac{\theta^2}{6}

MSE, varyans ve yan karesinin toplamına eşittir.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE) Formülü:

MSE(T) = Var(T) + [Yan(T)]^2

Practice More

Tahmin edici yansız olsaydı MSE ile varyans arasındaki ilişkinin nasıl değişeceğini düşününüz.

Estimated Time:1m 30s

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yansızlık ve Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution