Bir X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir: f(x; \theta) =… — KPSS İstatistik

Bir $X$ rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2}{\theta} \left( 1 - \frac{x}{\theta} \right), & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu dağılımdan çekilen $n$ birimlik bir rastgele örneklemin ortalaması $\bar{X}$ olmak üzere, $\theta$ parametresi için $T = 2\bar{X}$ tahmin edicisi öneriliyor.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{2-n}{9n}\theta^2$
B
$\frac{n+1}{9n}\theta^2$
$\frac{n+2}{9n}\theta^2$ Answer
D
$\frac{2}{9n}\theta^2$
E
$\frac{4n+2}{9n}\theta^2$

Answer

T

tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE)

\frac{n+2}{9n}\theta^2

ifadesine eşittir.

Hata kareler ortalaması (MSE), tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir (

MSE = Var(T) + Bias^2

). Kütle ortalaması

E[X] = \theta/3

ve kütle varyansı

Var(X) = \theta^2/18

olarak hesaplanır. Önerilen

T = 2\bar{X}

tahmin edicisinin beklenen değeri

E[T] = 2\theta/3

olup, yan miktarı

E[T] - \theta = -\theta/3

şeklindedir. Tahmin edicinin varyansı ise

Var(T) = 4Var(\bar{X}) = 4(\theta^2 / 18n) = 2\theta^2 / 9n

olur. Formülde yerine konulduğunda

MSE(T) = (2\theta^2 / 9n) + (\theta^2 / 9) = \frac{n+2}{9n}\theta^2

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

X

rassal değişkeninin beklenen değerini (

E[X]

) ve ikinci momentini (

E[X^2]

) hesapla.

E[X] = \int_0^\theta x \frac{2}{\theta} (1 - \frac{x}{\theta}) dx = \frac{\theta}{3}

E[X^2] = \int_0^\theta x^2 \frac{2}{\theta} (1 - \frac{x}{\theta}) dx = \frac{\theta^2}{6}

bulunur.

Kütle varyansını ve örneklem ortalamasının özelliklerini bulabilmek için kütlenin momentlerine ihtiyaç vardır.

Kütle varyansını (

Var(X)

) hesapla.

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{\theta^2}{6} - \left(\frac{\theta}{3}\right)^2 = \frac{\theta^2}{18}

olarak bulunur.

Tahmin edici olan

T

'nin varyansını hesaplayabilmek için ana kütle varyansının bilinmesi gereklidir.

T = 2\bar{X}

tahmin edicisinin beklenen değerini ve varyansını bul.

E[T] = 2E[\bar{X}] = 2\left(\frac{\theta}{3}\right) = \frac{2\theta}{3}

Var(T) = 4Var(\bar{X}) = 4\left(\frac{\theta^2}{18n}\right) = \frac{2\theta^2}{9n}

olur.

MSE hesabı, tahmin edicinin varyansına ve parametreye olan uzaklığına (beklenen değerine) dayanır.

Tahmin edicinin yan miktarını (

B(\theta)

) bul ve Hata Kareler Ortalamasını (

MSE

) hesapla.

B(\theta) = E[T] - \theta = \frac{2\theta}{3} - \theta = -\frac{\theta}{3}

olur. Buradan

MSE(T) = Var(T) + B(\theta)^2 = \frac{2\theta^2}{9n} + \frac{\theta^2}{9} = \frac{n+2}{9n}\theta^2

elde edilir.

Yanlı tahmin edicilerde MSE, varyans ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE) ve Yansızlık

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic