Examkin

Question

Difficulty: HardARMA Modelleri

Bir finansal analist, bir varlığın günlük getiri oranlarını (YtY_t) modellemek amacıyla, LL gecikme operatörünü ve εt\varepsilon_t beyaz gürültü sürecini kullanarak aşağıdaki ARMA modelini önermiştir:

(1−0,2L−cL2)Yt=(1+0,5L−dL2)εt(1 - 0,2L - cL^2)Y_t = (1 + 0,5L - dL^2)\varepsilon_t

Bu modelin zaman serisi analizinde anlamlı öngörüler üretebilmesi için hem durağanlık (stationarity) hem de tersinirlik (invertibility) koşullarını aynı anda sağlaması gerekmektedir.

Buna göre, analistin önerdiği modelde yer alan cc ve dd parametrelerinin alabileceği değer aralıkları aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir?

  1. −1<c<0,8-1 < c < 0,8 ve −1<d<0,5-1 < d < 0,5Answer
  2. B
    −1<c<1-1 < c < 1 ve −1<d<1-1 < d < 1
  3. C
    c<0,8c < 0,8 ve d<0,5d < 0,5
  4. D
    −0,8<c<1-0,8 < c < 1 ve −0,5<d<1-0,5 < d < 1
  5. E
    −1<c<0,2-1 < c < 0,2 ve −1<d<−0,5-1 < d < -0,5

Answer

Modelin AR(2) kısmından durağanlık için −1<c<0,8-1 < c < 0,8 aralığı, MA(2) kısmından tersinirlik için ise −1<d<0,5-1 < d < 0,5 aralığı hesaplanır.
Doğru yanıt, hem AR(2) durağanlık hem de MA(2) tersinirlik kısıt üçgenlerini aynı anda sağlayan aralıkları veren seçenektir. ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1 ve −1<ϕ2<1-1 < \phi_2 < 1 kısıtlarına ϕ1=0,2\phi_1=0,2 ve ϕ2=c\phi_2=c yerleştirildiğinde c<0,8c < 0,8, c<1,2c < 1,2 ve −1<c<1-1 < c < 1 eşitsizlikleri elde edilir; ortak çözüm −1<c<0,8-1 < c < 0,8'dir. Benzer şekilde MA(2) tersinirlik kısıtları için θ1=−0,5\theta_1=-0,5 ve θ2=d\theta_2=d değerleri standart kısıt denklemlerinde yerine konulduğunda −0,5+d<1  ⟹  d<1,5-0,5 + d < 1 \implies d < 1,5 ve d−(−0,5)<1  ⟹  d<0,5d - (-0,5) < 1 \implies d < 0,5 ve −1<d<1-1 < d < 1 elde edilir; bu eşitsizliklerin ortak çözümü −1<d<0,5-1 < d < 0,5'tir.

Step-by-Step Solution

1
AR(2) süreci için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında olması şartından türetilen durağanlık kısıtlarını (ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1, −1<ϕ2<1-1 < \phi_2 < 1) modeldeki parametrelerle eşleştirmek.
Modelden ϕ1=0,2\phi_1 = 0,2 ve ϕ2=c\phi_2 = c olduğu tespit edilir.
Durağanlık için ikinci dereceden otoregresif modelin üçlü katsayı kısıtlarının aynı anda sağlanması zorunludur.
2
Tespit edilen değerleri eşitsizliklerde yerine koyarak cc için çözüm aralığını bulmak.
0,2+c<1  ⟹  c<0,80,2 + c < 1 \implies c < 0,8 ve c−0,2<1  ⟹  c<1,2c - 0,2 < 1 \implies c < 1,2 ve −1<c<1-1 < c < 1 eşitsizliklerinin kesişimi olarak −1<c<0,8-1 < c < 0,8 aralığı elde edilir.
Parametrenin alabileceği geçerli değerler, her üç koşulu aynı anda sağlayan kesişim kümesidir.
3
MA(2) süreci için tersinirlik kısıtlarını (θ1+θ2<1\theta_1 + \theta_2 < 1, θ2−θ1<1\theta_2 - \theta_1 < 1, −1<θ2<1-1 < \theta_2 < 1) standart (1−θ1L−θ2L2)(1 - \theta_1 L - \theta_2 L^2) formunu kullanarak modele uyarlamak.
Hareketli ortalama polinomu (1+0,5L−dL2)(1 + 0,5L - dL^2) ile (1−θ1L−θ2L2)(1 - \theta_1 L - \theta_2 L^2) eşitlendiğinde, θ1=−0,5\theta_1 = -0,5 ve θ2=d\theta_2 = d bulunur.
Tersinirlik analizi için katsayı işaretlerinin standart MA gösterimine uygun olarak dönüştürülmesi gerekir.
4
Bulunan θ1\theta_1 ve θ2\theta_2 değerlerini kısıt denklemlerine yerleştirip dd için çözüm kümesini elde etmek.
−0,5+d<1  ⟹  d<1,5-0,5 + d < 1 \implies d < 1,5, d−(−0,5)<1  ⟹  d<0,5d - (-0,5) < 1 \implies d < 0,5 ve −1<d<1-1 < d < 1 eşitsizliklerinin kesişiminden −1<d<0,5-1 < d < 0,5 aralığı hesaplanır.
Modelin güncel şokları geçmişe doğru sönümlenen bir formda ifade edebilmesi için (tersinirlik) parametreler bu kesişim aralığında olmalıdır.

Key Concept

ARMA(p,q) modellerinde ikinci dereceden AR ve MA süreçleri için karakteristik denklem köklerinden elde edilen durağanlık ve tersinirlik kısıt üçgenlerinin analitik çözümü
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

ARMA Modelleri

More questions from this topic