Examkin

Question

Difficulty: MediumARMA Modelleri

Bir zaman serisi araştırmacısı, ortalamadan arındırılmış YtY_t serisi için gecikme (backshift) operatörü (BB) kullanarak aşağıdaki ARMA(1,1) modelini tahmin etmiştir:

(1−0,6B)Yt=(1+1,2B)εt(1 - 0,6B)Y_t = (1 + 1,2B)\varepsilon_t

(Burada εt\varepsilon_t, sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü sürecidir.)

Bu modelin yapısı ve teorik özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. Modelin otoregresif (AR) kısmı durağanlık koşulunu sağlarken, hareketli ortalama (MA) kısmı tersinirlik (invertibility) koşulunu sağlamamaktadır.Answer
  2. B
    Modelin teorik otokorelasyon fonksiyonu (ACF) ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) grafikleri belirli bir gecikmeden sonra aniden kesilerek sıfır değerini alır.
  3. C
    Model durağanlık koşulunu sağlamadığı için, zaman serisinin durağanlaştırılması amacıyla birinci dereceden farkı alınmalıdır.
  4. D
    Eşitlikteki gecikmeli hata terimleri, zaman serisindeki döngüsel ve mevsimsel dalgalanmaları ayrıştırmak amacıyla modele eklenmiştir.
  5. E
    Hareketli ortalama (MA) denkleminin kökü mutlak değerce 1'den küçük olduğu için model tersinirlik (invertibility) koşulunu sağlamaktadır.

Answer

Modelin otoregresif (AR) kısmı durağanlık koşulunu sağlarken, hareketli ortalama (MA) kısmı tersinirlik (invertibility) koşulunu sağlamamaktadır.
Verilen model (1−ϕ1B)Yt=(1+θ1B)εt(1 - \phi_1 B)Y_t = (1 + \theta_1 B)\varepsilon_t formunda bir ARMA(1,1) sürecidir. Bir ARMA modelinin durağan olabilmesi için AR karakteristik denkleminin (1−0,6B=01 - 0,6B = 0) köklerinin mutlak değerce 1'den büyük olması gerekir. B=1,66B = 1,66 olup ∣1,66∣>1|1,66| > 1 olduğundan model durağandır. Tersinirlik (invertibility) için ise MA karakteristik denkleminin (1+1,2B=01 + 1,2B = 0) köklerinin de mutlak değerce 1'den büyük olması zorunludur. Ancak bu denklemin kökü B=−0,833B = -0,833 olup mutlak değeri 1'den küçüktür (∣−0,833∣<1|-0,833| < 1). Bu nedenle kök birim çemberin içinde yer alır ve model tersinirlik koşulunu sağlamaz. Sonuç olarak modelin AR kısmı durağan iken, MA kısmı tersinir değildir.

Step-by-Step Solution

1
Modelin AR ve MA polinomlarını gecikme operatörü (BB) üzerinden tanımlama
AR polinomu Φ(B)=1−0,6B\Phi(B) = 1 - 0,6B ve MA polinomu Θ(B)=1+1,2B\Theta(B) = 1 + 1,2B olarak belirlenir.
Durağanlık ve tersinirlik koşulları, sırasıyla AR ve MA karakteristik denklemlerinin kökleri üzerinden incelenir.
2
Durağanlık (Stationarity) koşulunu test etme
Φ(B)=1−0,6B=0\Phi(B) = 1 - 0,6B = 0 denklemi çözülerek B=1/0,6≈1,66B = 1 / 0,6 \approx 1,66 bulunur. ∣1,66∣>1|1,66| > 1 (kök birim çemberin dışında) olduğundan model durağandır.
Bir ARMA modelinin durağan olabilmesi için AR köklerinin mutlak değerce 1'den büyük olması zorunludur.
3
Tersinirlik (Invertibility) koşulunu test etme
Θ(B)=1+1,2B=0\Theta(B) = 1 + 1,2B = 0 denklemi çözülerek B=−1/1,2≈−0,833B = -1 / 1,2 \approx -0,833 bulunur. ∣−0,833∣<1|-0,833| < 1 (kök birim çemberin içinde) olduğundan model tersinir değildir.
Bir modelin tersinir olabilmesi için MA köklerinin mutlak değerce 1'den büyük olması zorunludur.
4
Sonucu değerlendirme
Modelin AR kısmı durağanlık koşulunu sağlarken, MA kısmı tersinirlik koşulunu sağlamamaktadır.
İki testin birleşimi bu temel sonucu ortaya koyar.

Key Concept

ARMA Modellerinde Durağanlık ve Tersinirlik Koşulları
Rate this question

Topics

ARMA Modelleri

More questions from this topic