Ortalaması sıfır olan bir Y_t zaman serisi, gecikme operatörü (B) kullanılarak aşağıdaki g… — KPSS İstatistik

Ortalaması sıfır olan bir $Y_t$ zaman serisi, gecikme operatörü ( $B$ ) kullanılarak aşağıdaki gibi Otoregresif Hareketli Ortalama, ARMA(1,1), süreci olarak modellenmiştir:

(1 - \phi_1 B)Y_t = (1 - \theta_1 B)\varepsilon_t

Burada $\varepsilon_t$ , sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü (white noise) sürecidir.

Bu modelin hem durağanlık hem de tersinirlik koşullarını aynı anda sağlaması için parametrelerin alması gereken değer aralıkları ve serinin teorik otokorelasyon fonksiyonu (ACF) ile kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) davranışı hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$|\phi_1| < 1$ ve $|\theta_1| < 1$ olmalıdır; ayrıca hem ACF hem de PACF grafikleri yavaş yavaş sönümlenir.Answer
B
$|\phi_1| > 1$ ve $|\theta_1| > 1$ olmalıdır; bu durumda hem ACF hem de PACF belirli bir gecikmeden sonra aniden kesilir.
C
Yalnızca $|\theta_1| < 1$ olması durağanlık için yeterlidir; ACF birinci gecikmeden sonra aniden kesilir.
D
$|\phi_1| = 1$ olmalıdır ve seriyi durağanlaştırmak için birinci farkı alınmalıdır; PACF yavaş yavaş sönümlenir.
E
$|\phi_1| < 1$ ve $|\theta_1| < 1$ olmalıdır; ancak ACF birinci gecikmeden sonra kesilirken PACF yavaş yavaş sönümlenir.

Answer

Durağanlık ve tersinirlik için parametrelerin mutlak değerlerinin 1'den küçük olması (|φ₁| < 1 ve |θ₁| < 1) ve karma model olduğu için her iki fonksiyonun da yavaş yavaş sönümlenmesi gerektiğini belirten seçenektir.

Bir ARMA(1,1) modelinin durağan olabilmesi için otoregresif kısmın karakteristik kökünün mutlak değerce 1'den büyük olması, yani

|1/\phi_1| > 1 \implies |\phi_1| < 1

koşulunu sağlaması gerekir. Tersinirlik için ise hareketli ortalama kısmının kökü birim çemberin dışında olmalıdır, bu da benzer şekilde

|\theta_1| < 1

anlamına gelir. Ayrıca, karma (ARMA) modellerde hem AR hem de MA bileşenleri aktif olduğu için, teorik ACF ve PACF grafiklerinin hiçbiri belirli bir gecikmede aniden kesilmez; her ikisi de artan gecikmelerle birlikte üstel ya da sinüzoidal bir biçimde sönümlenme eğilimi gösterir.

Step-by-Step Solution

Durağanlık koşulunu değerlendirme

AR(1) bileşeni olan

(1 - \phi_1 B)

için karakteristik denklem

1 - \phi_1 B = 0

'dır ve kökü

B = 1/\phi_1

'dir. Serinin durağan olması için bu kökün birim çemberin dışında kalması gerekir:

|1/\phi_1| > 1 \implies |\phi_1| < 1

Zaman serisinin geçmiş şoklarının etkisinin zamanla kaybolması (durağanlık) için AR karakteristik kökleri mutlak değerce 1'den büyük olmalıdır.

Tersinirlik koşulunu değerlendirme

MA(1) bileşeni olan

(1 - \theta_1 B)

için karakteristik denklem

1 - \theta_1 B = 0

'dır ve kökü

B = 1/\theta_1

'dir. Tersinirlik için bu kök de birim çemberin dışında olmalıdır:

|1/\theta_1| > 1 \implies |\theta_1| < 1

Modelin şimdiki değerinin tümüyle geçmiş gözlemler cinsinden ifade edilebilmesi (tersinirlik) için MA kökleri mutlak değerce 1'den büyük olmalıdır.

ACF ve PACF davranışını belirleme

Model bir ARMA(1,1) modelidir. İçerisinde hem otoregresif (AR) hem de hareketli ortalama (MA) bileşeni bulundurduğu için ne ACF grafiği ne de PACF grafiği belirli bir gecikmede aniden sıfıra düşerek kesilir. Her ikisi de sonsuza uzanan gecikmeler boyunca yavaş yavaş (üstel veya sinüzoidal olarak) sönümlenir.

Saf AR modellerinin PACF'si, saf MA modellerinin ise ACF'si aniden kesilir. ARMA modellerinde bu kesilme gözlenmez.

Key Concept

ARMA Modellerinde Durağanlık, Tersinirlik ve Otokorelasyon Fonksiyonları

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic