Examkin

Question

Difficulty: HardARMA Modelleri

Bir istatistik uzmanı, bir ülkenin sanayi üretim endeksindeki aylık değişimleri incelemektedir. Uzman, seriyi ortalamadan arındırdıktan sonra YtY_t serisi için BB gecikme (backshift) operatörünü ve εt\varepsilon_t beyaz gürültü sürecini kullanarak aşağıdaki zaman serisi modelini tahmin etmiştir:

(1−1,2B+0,32B2)Yt=(1+0,2B−0,48B2)εt(1 - 1,2 B + 0,32 B^2) Y_t = (1 + 0,2 B - 0,48 B^2) \varepsilon_t

Bu modelin özellikleri ile otokorelasyon (ACF) ve kısmi otokorelasyon (PACF) fonksiyonlarının teorik davranışları dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. Model durağan ve tersine çevrilebilirdir; serinin hem ACF hem de PACF grafikleri teorik olarak sıfıra doğru sönümlenir.Answer
  2. B
    Model durağandır ancak tersine çevrilebilir değildir; serinin ACF grafiği 2. gecikmeden sonra aniden kesilirken, PACF grafiği sönümlenir.
  3. C
    Model durağan değildir ancak tersine çevrilebilirdir; serinin ACF grafiği sönümlenirken, PACF grafiği 2. gecikmeden sonra aniden kesilir.
  4. D
    Model hem durağan hem de tersine çevrilebilirdir; serinin ACF grafiği 2. gecikmeden sonra, PACF grafiği ise yine 2. gecikmeden sonra aniden kesilir.
  5. E
    Modelin otoregresif parametrelerinin toplamı 11'den büyük olduğu için seri durağan değildir; bu nedenle ACF ve PACF grafikleri sönümlenme göstermez.

Answer

Modelin durağan ve tersine çevrilebilir olduğunu, ayrıca hem ACF hem de PACF grafiklerinin sönümlenme (tail off) davranışı göstereceğini belirten seçenektir.
Verilen ARMA(2,2) modeli için AR parametreleri ϕ1=1,2\phi_1 = 1,2 ve ϕ2=−0,32\phi_2 = -0,32'dir. Durağanlık şartları olan ϕ1+ϕ2=0,88<1\phi_1 + \phi_2 = 0,88 < 1, ϕ2−ϕ1=−1,52<1\phi_2 - \phi_1 = -1,52 < 1 ve ∣ϕ2∣=0,32<1|\phi_2| = 0,32 < 1 eşitsizlikleri sağlandığı için süreç durağandır. Benzer şekilde MA parametreleri θ1=−0,2\theta_1 = -0,2 ve θ2=0,48\theta_2 = 0,48'dir. θ1+θ2=0,28<1\theta_1 + \theta_2 = 0,28 < 1, θ2−θ1=0,68<1\theta_2 - \theta_1 = 0,68 < 1 ve ∣θ2∣=0,48<1|\theta_2| = 0,48 < 1 eşitsizlikleri sağlandığı için süreç tersine çevrilebilirdir. Bir ARMA sürecinde (AR ve MA derecesi sıfırdan büyükse), otokorelasyon (ACF) ve kısmi otokorelasyon (PACF) fonksiyonları aniden kesilmek (cut off) yerine teorik olarak sönümlenme (tail off) davranışı gösterir. Bu nedenle sürecin özellikleri ve davranışları eksiksiz olarak ifade edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1
Modelin AR(2) kısmının durağanlık koşullarının incelenmesi.
AR polinomu (1−ϕ1B−ϕ2B2)(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2) formatındadır. Modelde (1−1,2B+0,32B2)(1 - 1,2 B + 0,32 B^2) olduğu için ϕ1=1,2\phi_1=1,2 ve ϕ2=−0,32\phi_2=-0,32 bulunur. ϕ1+ϕ2=0,88<1\phi_1+\phi_2 = 0,88 < 1, ϕ2−ϕ1=−1,52<1\phi_2-\phi_1 = -1,52 < 1 ve ∣ϕ2∣=0,32<1|\phi_2| = 0,32 < 1 eşitsizliklerinin üçü de sağlandığı için süreç durağandır.
AR süreçlerinin durağan olması için Box-Jenkins parametre koşullarının (veya köklerin mutlak değerce 11'den büyük olma şartının) sağlanması zorunludur.
2
Modelin MA(2) kısmının tersine çevrilebilirlik koşullarının incelenmesi.
MA polinomu (1−θ1B−θ2B2)(1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2) formatındadır. Modelde (1+0,2B−0,48B2)(1 + 0,2 B - 0,48 B^2) olduğu için θ1=−0,2\theta_1=-0,2 ve θ2=0,48\theta_2=0,48 bulunur. θ1+θ2=0,28<1\theta_1+\theta_2 = 0,28 < 1, θ2−θ1=0,68<1\theta_2-\theta_1 = 0,68 < 1 ve ∣θ2∣=0,48<1|\theta_2| = 0,48 < 1 eşitsizlikleri sağlandığı için süreç tersine çevrilebilirdir.
MA süreçlerinin tersine çevrilebilir olması için kendi karakteristik denkleminin köklerinin birim çemberin dışında kalması (veya eşdeğer parametre kısıtlarını sağlaması) gerekir.
3
ARMA(2,2) süreci için ACF ve PACF fonksiyonlarının teorik özelliklerinin belirlenmesi.
Süreç karmaşık bir ARMA(p,q) modeli olduğundan, ne ACF ne de PACF grafikleri belirli bir gecikmeden sonra aniden kesilmez (cut off). Her ikisi de sıfıra doğru sönümlenme (tail off) davranışı gösterir.
ARMA modellerinin yapısı gereği, otoregresif ve hareketli ortalama bileşenleri birbirini etkileyerek otokorelasyonların teorik olarak sonsuza dek azalarak devam etmesine neden olur.

Key Concept

ARMA modellerinde durağanlık, tersine çevrilebilirlik koşulları ve ACF/PACF teorik davranışları

Alternative Method

AR ve MA kısımlarının karakteristik denklemlerinin (örneğin 1−1,2x+0,32x2=01 - 1,2 x + 0,32 x^2 = 0) doğrudan köklerini bulmak yerine, ϕ1+ϕ2<1\phi_1 + \phi_2 < 1, ϕ2−ϕ1<1\phi_2 - \phi_1 < 1, ∣ϕ2∣<1|\phi_2| < 1 ve θ1+θ2<1\theta_1 + \theta_2 < 1, θ2−θ1<1\theta_2 - \theta_1 < 1, ∣θ2∣<1|\theta_2| < 1 Box-Jenkins eşitsizlik sistemleri kullanılarak modelin durağanlık ve tersine çevrilebilirliği sınav koşullarında çok daha hızlı kontrol edilebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

ARMA Modelleri

More questions from this topic