Bir tarım uzmanı, yeni geliştirilen bir buğday türünün hektar başına ortalama verimini (\m… — KPSS İstatistik

Bir tarım uzmanı, yeni geliştirilen bir buğday türünün hektar başına ortalama verimini ( $\mu$ ) tahmin etmek için bir çalışma yapmaktadır. Kitle varyansının $\sigma^2$ olduğu bilinmektedir. Uzman, geçmiş tecrübelerine dayanarak ortalama verimin $\mu_0$ civarında olacağını öngörmektedir. Rastgele seçilen $n$ farklı tarladan elde edilen verimlerin örneklem ortalaması $\bar{X}$ olarak hesaplanmıştır.

Uzman,

\mu

parametresini tahmin etmek için örneklem ortalaması ile kendi öngörüsünü,

0 < \alpha < 1

sabit bir ağırlık katsayısı olmak üzere,

\hat{\mu} = \alpha \bar{X} + (1-\alpha)\mu_0

şeklinde birleştirerek yeni bir tahmin edici tanımlamıştır.

Buna göre, $\hat{\mu}$ tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\alpha^2 \frac{\sigma^2}{n}$
B
\alpha \frac{\sigma^2}{n} + (1-\alpha) (\mu - \mu_0)^2
\alpha^2 \frac{\sigma^2}{n} + (1-\alpha)^2 (\mu - \mu_0)^2Answer
D
$\alpha^2 \frac{\sigma^2}{n} + (1-\alpha)^2 \mu^2$
E
\alpha^2 \sigma^2 + (1-\alpha)^2 (\mu - \mu_0)^2

Answer

\alpha^2 \frac{\sigma^2}{n} + (1-\alpha)^2 (\mu - \mu_0)^2

Hata Kareler Ortalaması (MSE), tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir (

MSE = Var(\hat{\mu}) + [Bias(\hat{\mu})]^2

). Tahmin edicinin beklenen değeri

E(\hat{\mu}) = \alpha E(\bar{X}) + (1-\alpha)\mu_0 = \alpha \mu + (1-\alpha)\mu_0

olduğundan, yan miktarı

E(\hat{\mu}) - \mu = (1-\alpha)(\mu_0 - \mu)

olarak bulunur. Sabit bir tahmin değeri olan

\mu_0

'ın varyansı sıfır ve örneklem ortalaması

\bar{X}

'in varyansı

\sigma^2/n

olduğundan, tahmin edicinin varyansı

Var(\hat{\mu}) = \alpha^2 \frac{\sigma^2}{n}

olur. Bu iki değer toplanarak doğru MSE elde edilir.

Step-by-Step Solution

Tahmin edicinin beklenen değerini (Expected Value) ve yan (Bias) miktarını hesaplamak

E(\hat{\mu}) = \alpha \mu + (1-\alpha)\mu_0

Yan = (1-\alpha)(\mu_0 - \mu)

MSE hesaplaması için tahmin edicinin yansız olup olmadığını ve eğer yanlı ise yan miktarını belirlemek gereklidir.

Tahmin edicinin varyansını hesaplamak

Var(\hat{\mu}) = \alpha^2 \frac{\sigma^2}{n}

MSE formülünün ikinci bileşeni olan tahmin edici varyansını bulmak için, sabitlerin varyansının sıfır olduğu ve katsayıların karesinin alındığı varyans özellikleri kullanılır.

Hata Kareler Ortalaması (MSE) formülünü uygulamak

MSE(\hat{\mu}) = \alpha^2 \frac{\sigma^2}{n} + (1-\alpha)^2 (\mu - \mu_0)^2

MSE = Varyans + Yan^2

formülü ile iki bileşen toplanarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Tahmin Edicilerde Hata Kareler Ortalaması (MSE), Varyans ve Yan İlişkisi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic