Examkin

Question

Difficulty: HardYansızlık (Unbiasedness) ve Yan Miktarı

Bir kitle, bilinmeyen θ\theta parametresi için (θ,θ+1)(\theta, \theta+1) aralığında sürekli düzgün (üniform) dağılıma sahiptir.

Bu kitleden alınan nn çaplı bağımsız rastgele örneklemin en küçük sıra istatistiği X(1)X_{(1)} ile gösterilmektedir.

θ\theta parametresini tahmin etmek için,
θ^=X(1)−1n \hat{\theta} = X_{(1)} - \frac{1}{n}
tahmin edicisi öneriliyor.

Buna göre, θ^\hat{\theta} tahmin edicisinin yan miktarı (bias) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. −1n(n+1)-\frac{1}{n(n+1)}Answer
  2. B
    1n(n+1)\frac{1}{n(n+1)}
  3. C
    1n+1\frac{1}{n+1}
  4. D
    00
  5. E
    −1n-\frac{1}{n}

Answer

Tahmin edicinin yan miktarı −1n(n+1)-\frac{1}{n(n+1)} olarak bulunur.
Doğru yanıt, yan miktarının mutlak değerce 1n(n+1)\frac{1}{n(n+1)} ve negatif işaretli olduğunu gösteren ifadedir. X(1)X_{(1)}'in beklenen değeri θ+1n+1\theta + \frac{1}{n+1} olarak bulunur. Tahmin edicide yer alan −1n-\frac{1}{n} sabit terimi de eklendiğinde beklenen değer θ+1n+1−1n\theta + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} olur. Yan miktarı (bias) tanımı gereği bu değerden bilinmeyen gerçek parametre olan θ\theta'nın çıkarılmasıyla, rasyonel işlem sonucunda −1n(n+1)-\frac{1}{n(n+1)} elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
En küçük sıra istatistiğinin (X(1)X_{(1)}) olasılık yoğunluk fonksiyonunu (PDF) belirleme.
g1(x)=n(θ+1−x)n−1g_1(x) = n(\theta + 1 - x)^{n-1}
Sıra istatistiğinin beklenen değerini bulmak için U(θ,θ+1)U(\theta, \theta+1) dağılımının F(x)=x−θF(x) = x - \theta ve f(x)=1f(x) = 1 eşitlikleri kullanılarak n[1−F(x)]n−1f(x)n[1-F(x)]^{n-1}f(x) formülü uygulanmalıdır.
2
X(1)X_{(1)} istatistiğinin beklenen değerini integral yardımıyla hesaplama.
E[X(1)]=θ+1n+1E[X_{(1)}] = \theta + \frac{1}{n+1}
Beklenen değer integrali ∫θθ+1x⋅n(θ+1−x)n−1dx\int_{\theta}^{\theta+1} x \cdot n(\theta + 1 - x)^{n-1} dx, u=θ+1−xu = \theta + 1 - x dönüşümü ile çözülerek sonuca ulaşılır.
3
Önerilen θ^\hat{\theta} tahmin edicisinin beklenen değerini hesaplama.
E[θ^]=θ+1n+1−1nE[\hat{\theta}] = \theta + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n}
Beklenen değer operatörünün doğrusallık özelliği gereği E[X(1)−1n]=E[X(1)]−1nE[X_{(1)} - \frac{1}{n}] = E[X_{(1)}] - \frac{1}{n} işlemi yapılır.
4
Tahmin edicinin yan miktarını (bias) çıkarma işlemi ile hesaplama.
Yan = −1n(n+1)-\frac{1}{n(n+1)}
Yan miktarı formülü B(θ^)=E[θ^]−θB(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}] - \theta uygulanır ve payda eşitlenerek 1n+1−1n=n−(n+1)n(n+1)\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n - (n+1)}{n(n+1)} basitleştirmesi yapılır.

Key Concept

Nokta tahmin edicilerinde yan miktarı formülünün B(θ^)=E[θ^]−θB(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}] - \theta ve sıra istatistiklerinin beklenen değer hesabının kullanılması.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Yansızlık (Unbiasedness) ve Yan Miktarı

More questions from this topic