Examkin

Question

Difficulty: MediumYansızlık (Unbiasedness) ve Yan Miktarı

Bir kitlenin (0,θ)(0, \theta) aralığında düzgün (üniform) dağılıma sahip olduğu bilinmektedir. Bu kitleden alınan nn çaplı bağımsız rastgele örneklemin gözlem değerleri X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olmak üzere, örneklemin en büyük sıra istatistiği Y=max⁡(X1,X2,…,Xn)Y = \max(X_1, X_2, \dots, X_n) olarak tanımlanmıştır.

Bilinmeyen θ\theta parametresini tahmin etmek için θ^=Y\hat{\theta} = Y tahmin edicisi kullanıldığında, bu tahmin edicinin yan miktarı (bias) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    θn+1\frac{\theta}{n+1}
  2. B
    −θn-\frac{\theta}{n}
  3. −θn+1-\frac{\theta}{n+1}Answer
  4. D
    00
  5. E
    θ2\frac{\theta}{2}

Answer

Tahmin edicinin yan miktarı −θn+1-\frac{\theta}{n+1} değeridir.
Doğru cevap, en büyük sıra istatistiğinin beklenen değerinin hesaplanıp gerçek parametre değerinden çıkarılmasıyla elde edilen −θn+1-\frac{\theta}{n+1} değerini gösteren seçenektir. Düzgün dağılımda en büyük sıra istatistiğinin beklenen değeri her zaman θ\theta'dan küçüktür (E(Y)=nn+1θE(Y) = \frac{n}{n+1}\theta). Bu durum, söz konusu tahmin edicinin parametreyi olduğundan küçük tahmin etme eğiliminde olduğunu (negatif yan) matematiksel olarak kanıtlar.

Step-by-Step Solution

1
En büyük sıra istatistiği olan YY'nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu (g(y)g(y)) belirle.
Düzgün dağılım için F(x)=xθF(x) = \frac{x}{\theta} ve f(x)=1θf(x) = \frac{1}{\theta}'dır. g(y)=n[F(y)]n−1f(y)=n(yθ)n−11θ=nyn−1θng(y) = n[F(y)]^{n-1}f(y) = n\left(\frac{y}{\theta}\right)^{n-1}\frac{1}{\theta} = \frac{n y^{n-1}}{\theta^n} bulunur.
Bir tahmin edicinin yan miktarını hesaplayabilmek için öncelikle o istatistiğin örnekleme dağılımının bilinmesi gerekir.
2
YY istatistiğinin beklenen değerini (E(Y)E(Y)) hesapla.
E(Y)=∫0θynyn−1θndy=nθn∫0θyndy=nθn[yn+1n+1]0θ=nn+1θE(Y) = \int_{0}^{\theta} y \frac{n y^{n-1}}{\theta^n} dy = \frac{n}{\theta^n} \int_{0}^{\theta} y^n dy = \frac{n}{\theta^n} \left[ \frac{y^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{\theta} = \frac{n}{n+1}\theta olarak elde edilir.
Yansızlık incelemesi, tahmin edicinin beklenen değerinin tahmin edilmek istenen parametreye eşit olup olmadığının kontrol edilmesiyle yapılır.
3
Yan miktarını (B(θ^)B(\hat{\theta})) formülü uygulayarak bul.
B(Y)=E(Y)−θ=nn+1θ−θ=nθ−(n+1)θn+1=−θn+1B(Y) = E(Y) - \theta = \frac{n}{n+1}\theta - \theta = \frac{n\theta - (n+1)\theta}{n+1} = -\frac{\theta}{n+1} bulunur.
Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile gerçek parametre değeri arasındaki cebirsel farktır.

Key Concept

Yansızlık (Unbiasedness) ve Yan Miktarı
Rate this question

Topics

Yansızlık (Unbiasedness) ve Yan Miktarı

More questions from this topic