Examkin

Question

Difficulty: MediumYansızlık (Unbiasedness) ve Yan Miktarı

Bir fabrikada üretilen elektronik parçaların kusurlu olma durumu incelenmektedir. Kalite kontrol süreci için nn çaplı bağımsız bir rastgele örneklem alınmış ve XiX_i rastgele değişkeni, ii. parçanın kusurlu olması durumunda 1, kusursuz olması durumunda 0 değerini alacak şekilde tanımlanmıştır. Parçaların kusurlu olma olasılığının pp olduğu bilinmektedir.

Kitle varyansını, yani θ=p(1−p)\theta = p(1-p) parametresini tahmin etmek amacıyla, örneklem ortalaması Xˉ\bar{X} kullanılarak θ^=Xˉ(1−Xˉ)\hat{\theta} = \bar{X}(1 - \bar{X}) tahmin edicisi önerilmiştir.

Buna göre, θ^\hat{\theta} tahmin edicisinin yan miktarı (B(θ^)B(\hat{\theta})) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. −p(1−p)n-\frac{p(1-p)}{n}Answer
  2. B
    p(1−p)n\frac{p(1-p)}{n}
  3. C
    00
  4. D
    −p2n-\frac{p^2}{n}
  5. E
    −p(1−p)n−1-\frac{p(1-p)}{n-1}

Answer

θ^\hat{\theta} tahmin edicisinin yan miktarı −p(1−p)n-\frac{p(1-p)}{n} ifadesine eşittir.
Yan miktarı, B(θ^)=E[θ^]−θB(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}] - \theta formülüyle bulunur. θ^=Xˉ(1−Xˉ)\hat{\theta} = \bar{X}(1 - \bar{X}) tahmin edicisinin beklenen değeri alınırken E[Xˉ2]E[\bar{X}^2] ifadesi Var(Xˉ)+(E[Xˉ])2Var(\bar{X}) + (E[\bar{X}])^2 eşitliğinden faydalanarak hesaplanmalıdır. Buradan E[Xˉ2]=p(1−p)n+p2E[\bar{X}^2] = \frac{p(1-p)}{n} + p^2 bulunur. İfadeler yerine konduğunda E[θ^]=p(1−p)−p(1−p)nE[\hat{\theta}] = p(1-p) - \frac{p(1-p)}{n} elde edilir. Gerçek kitle varyansı olan p(1−p)p(1-p) bu değerden çıkarıldığında geriye −p(1−p)n-\frac{p(1-p)}{n} yan miktarı kalır.

Step-by-Step Solution

1
Tahmin edicinin beklenen değerini, beklenen değer operatörünün doğrusallığını kullanarak ifade etme.
E[θ^]=E[Xˉ(1−Xˉ)]=E[Xˉ−Xˉ2]=E[Xˉ]−E[Xˉ2]E[\hat{\theta}] = E[\bar{X}(1-\bar{X})] = E[\bar{X} - \bar{X}^2] = E[\bar{X}] - E[\bar{X}^2]
Yan miktarını bulabilmek için öncelikle tahmin edicinin beklenen değerinin tam olarak hesaplanması gerekir.
2
Örneklem ortalamasının beklenen değeri ve varyansını belirleme.
Xi∼Bernoulli(p)X_i \sim Bernoulli(p) olduğundan E[Xˉ]=pE[\bar{X}] = p ve Var(Xˉ)=p(1−p)nVar(\bar{X}) = \frac{p(1-p)}{n} elde edilir.
Örneklem ortalamasının momentleri, kitle dağılımının momentlerine doğrudan bağlıdır.
3
Xˉ\bar{X}'in karesinin beklenen değerini, varyans formülü üzerinden hesaplama.
E[Xˉ2]=Var(Xˉ)+(E[Xˉ])2=p(1−p)n+p2E[\bar{X}^2] = Var(\bar{X}) + (E[\bar{X}])^2 = \frac{p(1-p)}{n} + p^2
Bir rastgele değişkenin karesinin beklenen değerini bulmak için varyans ile beklenen değerin karesi toplanmalıdır.
4
Tahmin edicinin beklenen değerini formülde yerine koyarak bulma.
E[θ^]=p−(p(1−p)n+p2)=p−p2−p(1−p)n=p(1−p)−p(1−p)nE[\hat{\theta}] = p - \left( \frac{p(1-p)}{n} + p^2 \right) = p - p^2 - \frac{p(1-p)}{n} = p(1-p) - \frac{p(1-p)}{n}
Bulunan momentler ana denklemde yerine yazılarak tahmin edicinin dağılım merkezi elde edilir.
5
Yan miktarını (Bias) tanım formülüne göre hesaplama.
B(θ^)=E[θ^]−θ=(p(1−p)−p(1−p)n)−p(1−p)=−p(1−p)nB(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}] - \theta = \left( p(1-p) - \frac{p(1-p)}{n} \right) - p(1-p) = -\frac{p(1-p)}{n}
Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile tahmin edilmek istenen gerçek parametre değeri arasındaki farktır.

Key Concept

Yansızlık (Unbiasedness) ve Yan Miktarı (Bias)

Alternative Method

S2=nn−1Xˉ(1−Xˉ)S^2 = \frac{n}{n-1}\bar{X}(1-\bar{X}) formülünün yansız bir örneklem varyansı tahmin edicisi olduğu bilgisinden yola çıkarak, θ^=n−1nS2\hat{\theta} = \frac{n-1}{n}S^2 olduğu görülüp, E[θ^]=n−1np(1−p)E[\hat{\theta}] = \frac{n-1}{n} p(1-p) eşitliği hızlıca elde edilebilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Yansızlık (Unbiasedness) ve Yan Miktarı

More questions from this topic