X_1, X_2, \dots, X_n (n > 1), ortalaması \mu ve varyansı \sigma^2 olan bir kitleye ait ras… — KPSS İstatistik

$X_1, X_2, \dots, X_n$ ( $n > 1$ ), ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan bir kitleye ait rastgele bir örneklem olsun. $\bar{X}$ örneklem ortalamasını ve $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$ örneklem varyansını göstermek üzere, $\mu^2$ parametresi için $T = \bar{X}^2 - kS^2$ biçiminde bir tahmin edici önerilmiştir.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin $\mu^2$ için yansız (unbiased) bir tahmin edici olması için $k$ sabiti aşağıdakilerden hangisine eşit olmalıdır?

$\frac{1}{n}$ Answer
B
$\frac{1}{n-1}$
C
$\frac{1}{n^2}$
D
$\frac{n-1}{n}$
E
$1$

Answer

k sabitinin değeri

\frac{1}{n}

olmalıdır.

Verilen

T

tahmin edicisinin

\mu^2

için yansız olabilmesi,

E[T] = \mu^2

şartını sağlamasına bağlıdır. Beklenen değerin doğrusal olma özelliğinden yararlanarak

E[\bar{X}^2] = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}

E[S^2] = \sigma^2

ifadeleri yerine yazılır.

E[T] = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n} - k\sigma^2 = \mu^2

denkleminden, gerekli düzeltme faktörü olan

k

'nın

\frac{1}{n}

olması gerektiği bulunur.

Step-by-Step Solution

Örneklem ortalamasının karesinin beklenen değerini,

V(\bar{X}) = E[\bar{X}^2] - (E[\bar{X}])^2

formülünden çekerek hesaplamak.

E[\bar{X}^2] = V(\bar{X}) + (E[\bar{X}])^2 = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2

Yansızlık hesabı yapabilmek için öncelikle

\bar{X}^2

teriminin beklenen değerini bulmak gerekir.

Örneklem varyansının (

S^2

) beklenen değerini hatırlamak.

E[S^2] = \sigma^2

Tahmin edici içerisindeki

S^2

teriminin beklenen değerini formülde yerine koymak için gereklidir.

Önerilen

T

tahmin edicisinin beklenen değerini (

E[T]

) hesaplamak ve yansızlık şartını (

\mu^2

'ye eşitlik) uygulamak.

E[T] = E[\bar{X}^2 - kS^2] = \left(\mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}\right) - k\sigma^2 = \mu^2

Yansız bir tahmin edicinin beklenen değeri, tahmin edilen parametreye eşit olmalıdır.

Elde edilen denklemi

k

için çözmek.

\frac{\sigma^2}{n} - k\sigma^2 = 0 \implies k\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n} \implies k = \frac{1}{n}

Bizden istenen yansızlık katsayısı olan

k

değerine ulaşmak içindir.

Key Concept

Bir tahmin edicinin yansızlığı ve varyans formülünden yararlanarak beklenen değer hesabı.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic