Examkin

Question

Difficulty: MediumBağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)

Bir sunucu sisteminde, gelen bir isteğin ön belleğe alınma süresi XX (milisaniye) sürekli düzgün dağılıma sahip olup (0,1)(0, 1) aralığında değer almaktadır. İsteğin asıl işlenme süresi YY (milisaniye) ise λ=1\lambda = 1 parametreli üstel dağılıma sahiptir.

XX ve YY bağımsız rastgele değişkenler olduğuna göre, bir isteğin sistemde geçirdiği toplam sürenin (Z=X+YZ = X + Y) z>1z > 1 bölgesi için olasılık yoğunluk fonksiyonu fZ(z)f_Z(z) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. (e−1)e−z(e - 1)e^{-z}Answer
  2. B
    e−ze^{-z}
  3. C
    1−e−z1 - e^{-z}
  4. D
    1−e−(z−1)1 - e^{-(z-1)}
  5. E
    (e−1)e−2z(e - 1)e^{-2z}

Answer

İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının olasılık yoğunluk fonksiyonu evrişim (konvolüsyon) integrali ile bulunur ve doğru sonuç (e−1)e−z(e - 1)e^{-z} ifadesidir.
Verilen iki bağımsız sürekli rastgele değişkenin toplamı olan Z=X+YZ = X + Y'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu konvolüsyon integrali olan fZ(z)=∫fX(x)fY(z−x)dxf_Z(z) = \int f_X(x) f_Y(z-x) dx ile bulunur. X∼U(0,1)X \sim U(0,1) olduğundan integralin alt sınırı 00, üst sınırı ise z>1z > 1 koşulu altında her zaman 11'dir. Buna göre ∫01e−(z−x)dx=e−z∫01exdx=e−z[ex]01=(e−1)e−z\int_0^1 e^{-(z-x)} dx = e^{-z} \int_0^1 e^x dx = e^{-z} [e^x]_0^1 = (e - 1)e^{-z} sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
XX ve YY değişkenlerinin olasılık yoğunluk fonksiyonlarını (PDF) yazmak.
fX(x)=1f_X(x) = 1 (0<x<10 < x < 1) ve fY(y)=e−yf_Y(y) = e^{-y} (y>0y > 0).
Konvolüsyon integralini kurabilmek için öncelikle her iki değişkenin PDF'lerinin ve tanımlı oldukları bölgelerin netleştirilmesi gerekir.
2
Z=X+YZ = X + Y için genel konvolüsyon (evrişim) integralini formüle etmek.
fZ(z)=∫−∞∞fX(x)fY(z−x)dxf_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) dx denklemi yazılır.
Bağımsız iki sürekli rastgele değişkenin toplamının dağılımı evrişim işlemi ile elde edilir.
3
z>1z > 1 durumu için integral sınırlarını belirlemek.
fX(x)>0f_X(x) > 0 olması için 0<x<10 < x < 1 olmalıdır. fY(z−x)>0f_Y(z-x) > 0 olması için z−x>0  ⟹  x<zz - x > 0 \implies x < z olmalıdır. z>1z > 1 verildiğinden, xx'in (0,1)(0, 1) aralığındaki tüm değerleri için x<zx < z şartı sağlanır. Dolayısıyla alt sınır 00, üst sınır 11 olmalıdır.
İntegralin sıfırdan farklı olduğu ortak bölgeyi bulmak için her iki PDF'in de pozitif olduğu aralık tespit edilmelidir.
4
Belirlenen sınırlar üzerinden integrali hesaplamak.
∫011⋅e−(z−x)dx=e−z∫01exdx=e−z[ex]01=e−z(e1−e0)=(e−1)e−z\int_0^1 1 \cdot e^{-(z-x)} dx = e^{-z} \int_0^1 e^x dx = e^{-z} [e^x]_0^1 = e^{-z}(e^1 - e^0) = (e - 1)e^{-z} elde edilir.
Z'nin z>1z > 1 aralığındaki olasılık yoğunluk fonksiyonunu kesin olarak bulmak için.

Key Concept

Sürekli Rastgele Değişkenlerde Konvolüsyon (Evrişim) İntegrali
Rate this question

Topics

Bağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)