Examkin

Question

Difficulty: Very hardBağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)

Bir meteorolojik analizde, belirli bir bölgeye düşen ardışık iki farklı yağış türünün etkili olma süreleri incelenmektedir. Birinci yağış türünün etkili olma süresi XX (saat), ikinci yağış türünün etkili olma süresi YY (saat) rastgele değişkenleriyle ifade edilmekte olup bu iki değişken birbirinden bağımsızdır.

XX rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu:
fX(x)={e−(x−1),x>10,dig˘erf_X(x) = \begin{cases} e^{-(x-1)}, & x > 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}
YY rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu:
fY(y)={12,0<y<20,dig˘erf_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & 0 < y < 2 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}
şeklinde modellenmiştir.

İki yağışın toplam etkili olma süresi Z=X+YZ = X + Y olarak tanımlandığına göre, ZZ rastgele değişkeninin 1<z<31 < z < 3 aralığı için olasılık yoğunluk fonksiyonu fZ(z)f_Z(z) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 1−e1−z2\frac{1 - e^{1-z}}{2}Answer
  2. B
    1−e−z2\frac{1 - e^{-z}}{2}
  3. C
    e2−12e1−z\frac{e^2 - 1}{2} e^{1-z}
  4. D
    e1−z2\frac{e^{1-z}}{2}
  5. E
    e−e1−z2\frac{e - e^{1-z}}{2}

Answer

İstenilen aralık için olasılık yoğunluk fonksiyonu 1−e1−z2\frac{1 - e^{1-z}}{2} olarak hesaplanır.
Bağımsız iki sürekli rastgele değişkenin toplamının dağılımı evrişim integrali ile bulunur. Olasılık yoğunluk fonksiyonlarının ortak çözüm bölgesinde yy için 0<y<20 < y < 2 ve y<z−1y < z-1 koşullarının aynı anda sağlanması gerekir. Verilen 1<z<31 < z < 3 aralığında bu iki koşulun kesişimi y∈(0,z−1)y \in (0, z-1) bölgesidir. Belirtilen integrasyon işlemi uygulandığında sonuç 1−e1−z2\frac{1 - e^{1-z}}{2} olarak doğru şekilde elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Konvolüsyon integrali formülünü Z=X+YZ = X + Y için genel olarak yazmak.
fZ(z)=∫−∞∞fX(z−y)fY(y)dyf_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(z-y) f_Y(y) dy
Sürekli ve bağımsız iki rastgele değişkenin toplamının dağılımı evrişim (konvolüsyon) integrali ile hesaplanır.
2
fXf_X ve fYf_Y fonksiyonlarının sıfırdan farklı olduğu aralıkları belirleyerek integralin alt ve üst sınırlarını tespit etmek.
fY(y)≠0f_Y(y) \neq 0 için 0<y<20 < y < 2 olmalıdır. Aynı zamanda fX(z−y)≠0f_X(z-y) \neq 0 için z−y>1z-y > 1, yani y<z−1y < z-1 olmalıdır.
İntegralin sonucu yalnızca iki olasılık yoğunluk fonksiyonunun ortak olarak tanımlı (sıfırdan farklı) olduğu aralıkta anlamlıdır.
3
Verilen 1<z<31 < z < 3 aralığı bağlamında yy'nin entegrasyon sınırlarını kesinleştirmek.
1<z<31 < z < 3 koşulu sağlandığında 0<z−1<20 < z-1 < 2 eşitsizliği elde edilir. Bu durumda yy'nin alt sınırı 00, üst sınırı ise z−1z-1 olur.
Parçalı tanımlı fonksiyonlarda konvolüsyon integrali, zz'nin içinde bulunduğu aralığa göre farklı sınır değerleri üzerinden hesaplanır.
4
Belirlenen (0,z−1)(0, z-1) sınırları ile konvolüsyon integralini hesaplamak.
fZ(z)=∫0z−1e−(z−y−1)12dy=12e1−z∫0z−1eydy=12e1−z(ez−1−1)=1−e1−z2f_Z(z) = \int_0^{z-1} e^{-(z-y-1)} \frac{1}{2} dy = \frac{1}{2} e^{1-z} \int_0^{z-1} e^y dy = \frac{1}{2} e^{1-z} (e^{z-1} - 1) = \frac{1 - e^{1-z}}{2}
Üstel fonksiyonun integrali alınarak istenen sonuca matematiksel olarak ulaşılır.

Key Concept

Bağımsız rastgele değişkenlerin konvolüsyonu ve parçalı fonksiyonlarda entegrasyon sınırlarının analizi
Rate this question

Topics

Bağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)