Examkin

Question

Difficulty: EasyBağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)

Bir kamu kurumunda iki farklı işlem birimi (XX ve YY) bulunmaktadır. Bu birimlerin belirli bir zaman aralığında tamamladıkları işlem sayıları birbirinden bağımsızdır ve olasılık kütle fonksiyonları aşağıda verilmiştir:

- P(X=0)=0,60P(X=0) = 0,60 ve P(X=1)=0,40P(X=1) = 0,40
- P(Y=0)=0,70P(Y=0) = 0,70 ve P(Y=1)=0,30P(Y=1) = 0,30

Buna göre, bu iki birimde tamamlanan toplam işlem sayısının tam olarak 1 olma olasılığı (P(X+Y=1)P(X+Y=1)) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    0,12
  2. B
    0,18
  3. C
    0,28
  4. 0,46Answer
  5. E
    0,70

Answer

İki birimde tamamlanan toplam işlem sayısının tam olarak 1 olma olasılığı 0,46'dır.
Bağımsız XX ve YY rastgele değişkenlerinin toplamı olan Z=X+YZ = X + Y için P(Z=1)P(Z=1) olasılığı, XX ve YY'nin toplamı 1'i veren tüm mümkün durumlarının bileşik olasılıklarının toplamıdır. Bu durumda (X=0,Y=1)(X=0, Y=1) ve (X=1,Y=0)(X=1, Y=0) durumları mevcuttur. Bağımsızlık nedeniyle bileşik olasılıklar çarpım şeklinde hesaplanır: (0,60×0,30)+(0,40×0,70)=0,18+0,28=0,46(0,60 \times 0,30) + (0,40 \times 0,70) = 0,18 + 0,28 = 0,46.

Step-by-Step Solution

1
Toplam rastgele değişkenini tanımlama
Z=X+YZ = X + Y ve hedef değer Z=1Z = 1 olarak belirlenir.
Soruda iki bağımsız değişkenin toplamının belirli bir değer alma olasılığı sorulmaktadır.
2
Z=1Z = 1 sonucunu veren mümkün (X, Y) ikililerini listeleme
Z=1Z = 1 olması için ya (X=0,Y=1)(X=0, Y=1) ya da (X=1,Y=0)(X=1, Y=0) durumları gerçekleşmelidir.
Değişkenlerin tanımlı olduğu değerler 0 ve 1 olduğundan, toplamın 1 olması bu iki ayrık durumla sınırlıdır.
3
Bağımsızlık varsayımı ile bileşik olasılıkları hesaplama
P(X=0,Y=1)=0,60×0,30=0,18P(X=0, Y=1) = 0,60 \times 0,30 = 0,18 ve P(X=1,Y=0)=0,40×0,70=0,28P(X=1, Y=0) = 0,40 \times 0,70 = 0,28 bulunur.
Değişkenler bağımsız olduğu için ortak olasılık fonksiyonu, marjinal olasılıkların çarpımına eşittir.
4
Ayrık durumların olasılıklarını toplama
0,18+0,28=0,460,18 + 0,28 = 0,46 sonucuna ulaşılır.
Toplam değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu (konvolüsyon), bu bileşik olasılıkların toplamıdır.

Key Concept

Bağımsız kesikli rastgele değişkenlerin toplamının dağılımı, bu değişkenlerin olasılık kütle fonksiyonlarının evrişimi (convolution) ile elde edilir.
Estimated Time:45s
Rate this question

Topics

Bağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)