Examkin

Question

Difficulty: Very hardBağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)

Bir fabrikadaki üretim hattında, bir ürünün iki farklı kalite kontrol aşamasından geçmesi gerekmektedir.
Birinci kalite kontrol aşamasının süresi XX (saat) rastgele değişkeni ile modellenmekte olup, 0<x<10 < x < 1 aralığında fX(x)=2xf_X(x) = 2x olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir.
İkinci kalite kontrol aşamasının süresi YY (saat) rastgele değişkeni ile modellenmekte olup, XX'ten bağımsızdır ve 0<y<10 < y < 1 aralığında fY(y)=3y2f_Y(y) = 3y^2 olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir.

Bu iki aşamanın toplam süresi Z=X+YZ = X + Y rastgele değişkeni ile ifade edildiğine göre, toplam kalite kontrol süresinin 1≤z≤21 \le z \le 2 aralığındaki olasılık yoğunluk fonksiyonu fZ(z)f_Z(z) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    6z2−8z+32\frac{6z^2 - 8z + 3}{2}
  2. B
    z4−4z+32\frac{z^4 - 4z + 3}{2}
  3. −z4+6z2−4z2\frac{-z^4 + 6z^2 - 4z}{2}Answer
  4. D
    2z+3z22z + 3z^2
  5. E
    6z36z^3

Answer

Doğru seçenek, sınırların z−1z-1'den 11'e olarak belirlenip doğru konvolüsyon integrali işleminin uygulandığı −z4+6z2−4z2\frac{-z^4 + 6z^2 - 4z}{2} ifadesidir.
Toplam rastgele değişkenin (Z=X+YZ = X + Y) olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak için konvolüsyon (evrişim) integrali fZ(z)=∫fX(x)fY(z−x)dxf_Z(z) = \int f_X(x)f_Y(z-x)dx uygulanmalıdır. İki değişken de (0,1)(0,1) aralığında tanımlı olduğundan 0<x<10 < x < 1 ve 0<z−x<10 < z-x < 1 şartları sağlanmalıdır. 1≤z≤21 \le z \le 2 aralığı istendiği için, bu kısıtların kesişimi integrasyon sınırlarının z−1<x<1z-1 < x < 1 olmasını gerektirir. Sınırlar dahilinde hesaplanan 6∫z−11x(z−x)2dx6 \int_{z-1}^1 x(z-x)^2 dx integrali polinom kurallarıyla çözümlendiğinde sonuç −z4+6z2−4z2\frac{-z^4 + 6z^2 - 4z}{2} olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Bağımsız iki rastgele değişkenin toplamının (Z = X + Y) dağılımını bulmak için konvolüsyon formülü yazılır.
fZ(z)=∫−∞∞fX(x)fY(z−x)dxf_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) dx
Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamlarının olasılık yoğunluk fonksiyonu her zaman evrişim (konvolüsyon) integrali ile elde edilir.
2
1≤z≤21 \le z \le 2 aralığı için integrasyon sınırları belirlenir.
Fonksiyonların tanımlı olduğu aralıklar 0<x<10 < x < 1 ve 0<z−x<10 < z-x < 1 şeklindedir. İkinci eşitsizlikten z−1<x<zz-1 < x < z bulunur. 1≤z≤21 \le z \le 2 aralığında bu iki eşitsizliğin kesişimi z−1<x<1z-1 < x < 1 olur.
Her iki fonksiyonun da eşzamanlı olarak sıfırdan farklı olduğu ortak xx bölgesi integrasyon aralığını oluşturur.
3
Belirlenen integrasyon sınırları dikkate alınarak denklem kurulur.
fZ(z)=∫z−11(2x)⋅3(z−x)2dx=6∫z−11x(z2−2zx+x2)dxf_Z(z) = \int_{z-1}^1 (2x) \cdot 3(z-x)^2 dx = 6 \int_{z-1}^1 x(z^2 - 2zx + x^2) dx
Olasılık yoğunluk fonksiyonlarının denklemleri, sınırlar eşliğinde integrale yerleştirilir.
4
İntegral içerisindeki ifade genişletilerek xx'e göre belirli integral hesaplanır.
6∫z−11(z2x−2zx2+x3)dx=6[z2x22−2zx33+x44]z−116 \int_{z-1}^1 (z^2 x - 2z x^2 + x^3) dx = 6 \left[ \frac{z^2 x^2}{2} - \frac{2z x^3}{3} + \frac{x^4}{4} \right]_{z-1}^1
Polinom fonksiyonlarının temel integrasyon kuralları uygulanarak çözümleme yapılır.
5
Bulunan ifadede üst sınır (1) ve alt sınır (z-1) yerine konarak sonuç sadeleştirilir.
Üst sınır için: 6z2−8z+312\frac{6z^2 - 8z + 3}{12}
Alt sınır için: z4−4z+312\frac{z^4 - 4z + 3}{12}
İki ifadenin farkı alınıp dışarıdaki 66 katsayısı ile çarpıldığında sonuç −z4+6z2−4z2\frac{-z^4 + 6z^2 - 4z}{2} bulunur.
Belirli integralin temel teoremi uygulanarak işlemin cebirsel çözüm aşaması hatasız tamamlanmalıdır.

Key Concept

Bağımsız Rastgele Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)
Rate this question

Topics

Bağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)