Examkin

Question

Difficulty: MediumDualite Kavramı ve Dual Model Kurulumu

Bir işletmenin üretim planlama süreci için oluşturulan doğrusal programlama modeli aşağıda verilmiştir:

Maksimum Z=7x1+4x2−2x3\text{Maksimum } Z = 7x_1 + 4x_2 - 2x_3
Kısıtlar:
3x1+x2+5x3≤403x_1 + x_2 + 5x_3 \leq 40
2x1−4x2+x3≥122x_1 - 4x_2 + x_3 \geq 12
x1≥0, x3≥0x_1 \geq 0, \ x_3 \geq 0
x2 is¸aretsizdir.x_2 \text{ işaretsizdir.}

Buna göre, verilen primal modelin dual (ikil) modeli aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Min W=40y1+12y23y1+2y2≥7y1−4y2=45y1+y2≥−2y1≥0, y2≤0\begin{aligned} \text{Min } W &= 40y_1 + 12y_2 \\ 3y_1 + 2y_2 &\geq 7 \\ y_1 - 4y_2 &= 4 \\ 5y_1 + y_2 &\geq -2 \\ y_1 \geq 0, \ y_2 &\leq 0 \end{aligned}Answer
  2. B
    Min W=40y1+12y23y1+2y2≥7y1−4y2≥45y1+y2≥−2y1≥0, y2≥0\begin{aligned} \text{Min } W &= 40y_1 + 12y_2 \\ 3y_1 + 2y_2 &\geq 7 \\ y_1 - 4y_2 &\geq 4 \\ 5y_1 + y_2 &\geq -2 \\ y_1 \geq 0, \ y_2 &\geq 0 \end{aligned}
  3. C
    Min W=40y1+12y23y1+2y2≥7y1−4y2=45y1+y2≥−2y1≥0, y2≥0\begin{aligned} \text{Min } W &= 40y_1 + 12y_2 \\ 3y_1 + 2y_2 &\geq 7 \\ y_1 - 4y_2 &= 4 \\ 5y_1 + y_2 &\geq -2 \\ y_1 \geq 0, \ y_2 &\geq 0 \end{aligned}
  4. D
    Maks W=40y1+12y23y1+2y2≤7y1−4y2=45y1+y2≤−2y1≥0, y2≤0\begin{aligned} \text{Maks } W &= 40y_1 + 12y_2 \\ 3y_1 + 2y_2 &\leq 7 \\ y_1 - 4y_2 &= 4 \\ 5y_1 + y_2 &\leq -2 \\ y_1 \geq 0, \ y_2 &\leq 0 \end{aligned}
  5. E
    Min W=40y1+12y23y1+2y2≥7y1−4y2≤45y1+y2≥−2y1≥0, y2 is¸aretsiz\begin{aligned} \text{Min } W &= 40y_1 + 12y_2 \\ 3y_1 + 2y_2 &\geq 7 \\ y_1 - 4y_2 &\leq 4 \\ 5y_1 + y_2 &\geq -2 \\ y_1 \geq 0, \ y_2 &\text{ işaretsiz} \end{aligned}

Answer

Min W = 40y_1 + 12y_2 amaç fonksiyonuna sahip olan, y_2 <= 0 şartını ve x_2'den kaynaklı y_1 - 4y_2 = 4 eşitlik kısıtını barındıran seçenektir.
Primal model bir maksimizasyon problemi olduğundan dual model minimizasyon olmalıdır. Sağ taraf sabitleri (40 ve 12) dual amaç fonksiyonunun katsayıları olur. Maksimizasyon probleminde normal kısıt (<=) sıfırdan büyük eşit dual değişken (y_1 >= 0), anormal kısıt (>=) ise sıfırdan küçük eşit dual değişken (y_2 <= 0) üretir. Primal değişkenlerden x_1 ve x_3 pozitif tanımlı olduğundan bunlara karşılık gelen 1. ve 3. dual kısıtlar normal yönde (>=), x_2 işaretsiz olduğundan 2. dual kısıt eşitlik (=) şeklinde olmalıdır. Doğru seçenek tüm bu koşulları tam olarak sağlayan modeldir.

Step-by-Step Solution

1
Amaç fonksiyonunu dönüştürme
Min W = 40y_1 + 12y_2
Primal model Maksimum olduğundan Dual model Minimum olmalıdır. Primal modelin kısıtlarındaki sağ taraf sabitleri (40 ve 12), dual modelin amaç fonksiyonu katsayıları olur.
2
Dual değişkenlerin işaretlerini belirleme
y_1 >= 0 ve y_2 <= 0
Maksimizasyon probleminde normal kısıt (<=) yönündedir ve >= 0 dual değişken üretir (y_1 >= 0). Anormal kısıt (>=) yönündedir ve <= 0 dual değişken üretir (y_2 <= 0).
3
Dual kısıtların yönlerini belirleme
1. kısıt (>=), 2. kısıt (=), 3. kısıt (>=)
Minimizasyon probleminde normal dual kısıt (>=) yönündedir. x_1 ve x_3 pozitif (>= 0) olduğundan ilgili dual kısıtlar (>=) olur. x_2 işaretsiz olduğundan 2. dual kısıt eşitlik (=) şeklinde olmalıdır.
4
Dual kısıtları oluşturma
3y_1 + 2y_2 >= 7
y_1 - 4y_2 = 4
5y_1 + y_2 >= -2
Primal amaç fonksiyonu katsayıları (7, 4, -2) dual kısıtların sağ taraf sabitleri olur. Karar değişkenlerinin sütun katsayıları sırasıyla dual modelin kısıt denklemlerini oluşturur.

Key Concept

Primal-Dual Dönüşüm Kuralları
Rate this question

Topics

Dualite Kavramı ve Dual Model Kurulumu

More questions from this topic