Examkin

Question

Difficulty: MediumDualite Kavramı ve Dual Model Kurulumu

Aşağıda bir doğrusal programlama probleminin primal modeli verilmiştir:

Maks Z=6x1+4x2\text{Maks } Z = 6x_1 + 4x_2
Kısıtlar:
x1+2x2≤20x_1 + 2x_2 \leq 20
3x1+x2≥153x_1 + x_2 \geq 15
Değişkenler:
x1≥0,x2 serbest (is¸areti kısıtlanmamıs¸)x_1 \geq 0, \quad x_2 \text{ serbest (işareti kısıtlanmamış)}

Buna göre, bu problemin dual modeli aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Min W=20y1+15y2\text{Min } W = 20y_1 + 15y_2 Kısıtlar: y1+3y2≥6y_1 + 3y_2 \geq 6, 2y1+y2=42y_1 + y_2 = 4; Değişkenler: y1≥0,y2≤0y_1 \geq 0, y_2 \leq 0Answer
  2. B
    Min W=20y1+15y2\text{Min } W = 20y_1 + 15y_2 Kısıtlar: y1+3y2≥6y_1 + 3y_2 \geq 6, 2y1+y2=42y_1 + y_2 = 4; Değişkenler: y1≥0,y2≥0y_1 \geq 0, y_2 \geq 0
  3. C
    Min W=20y1+15y2\text{Min } W = 20y_1 + 15y_2 Kısıtlar: y1+3y2≥6y_1 + 3y_2 \geq 6, 2y1+y2≥42y_1 + y_2 \geq 4; Değişkenler: y1≥0,y2≤0y_1 \geq 0, y_2 \leq 0
  4. D
    Maks W=20y1+15y2\text{Maks } W = 20y_1 + 15y_2 Kısıtlar: y1+3y2≥6y_1 + 3y_2 \geq 6, 2y1+y2=42y_1 + y_2 = 4; Değişkenler: y1≥0,y2≤0y_1 \geq 0, y_2 \leq 0
  5. E
    Min W=20y1+15y2\text{Min } W = 20y_1 + 15y_2 Kısıtlar: y1+3y2≤6y_1 + 3y_2 \leq 6, 2y1+y2=42y_1 + y_2 = 4; Değişkenler: y1≥0,y2≤0y_1 \geq 0, y_2 \leq 0

Answer

Problemin dual modeli; minimizasyon amaçlı, ikinci kısıtı eşitlik olan ve ikinci dual değişkeni negatif işaretli olan modeldir.
Doğru modelde, primaldeki maksimizasyon minimizasyona dönüştürülmüştür. x2x_2 değişkeni serbest olduğu için dualdeki ikinci kısıt eşitlik (==) halindedir. Ayrıca primaldeki ikinci kısıt ≥\geq yönünde olduğu için (maksimizasyon için standart dışı), buna karşılık gelen y2y_2 dual değişkeni ≤0\leq 0 işaret kısıtına sahiptir.

Step-by-Step Solution

1
Amaç fonksiyonu yönünü ve katsayılarını belirleme
Min W=20y1+15y2W = 20y_1 + 15y_2
Primal Maks ise Dual Min olur. Primal kısıtların sağ taraf sabitleri dual amaç katsayıları olur.
2
Kısıt katsayılarını transpoz alarak oluşturma
1. Kısıt: y1+3y2y_1 + 3y_2, 2. Kısıt: 2y1+y22y_1 + y_2
Primal değişken katsayıları sütun bazında dual kısıtların satır katsayıları olur.
3
Dual değişkenlerin işaretlerini belirleme
y1≥0y_1 \geq 0 ve y2≤0y_2 \leq 0
Maks probleminde ≤\leq kısıtı ≥0\geq 0 değişkenine, ≥\geq kısıtı ise ≤0\leq 0 değişkenine karşılık gelir.
4
Dual kısıtların yönlerini belirleme
1. Kısıt ≥6\geq 6, 2. Kısıt =4= 4
Primalde x1≥0x_1 \geq 0 olduğu için dual kısıt ≥\geq (standart) olur; x2x_2 serbest olduğu için dual kısıt eşitlik olur.

Key Concept

Simetrik Dualite Kuralları

Hints

1
Primal modeldeki amaç fonksiyonunun yönüne (Maks/Min) ve değişkenlerin serbest olup olmadığına dikkat edin.
2
Maksimizasyon probleminde ≥\geq yönlü kısıtlar standart dışıdır ve dual değişkenin işaretini negatif yapar.
3
Primal modeldeki x2x_2 serbest değişkeni, dual modelin 2. kısıtının bir eşitlik (==) olmasını sağlar.

Practice More

Dualden primale geçiş kurallarını ve gölge fiyat (shadow price) kavramını gözden geçirebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Dualite Kavramı ve Dual Model Kurulumu

More questions from this topic