Examkin

Question

Difficulty: Medium(M/G/1) Modeli ve Pollaczek-Khinchine Formülü

Bir havalimanı gümrük müdürlüğünde, ithal edilen belirli bir teknolojik ürün grubunun denetimi için tek bir gümrük muayene memuru görev yapmaktadır. Bu ürünlerin muayene noktasına varışları saatte ortalama 33 ürün olacak şekilde Poisson dağılımına uymaktadır.

Memurun bir ürünü muayene etme süresi genel (keyfi) bir dağılıma sahip olup, ortalama muayene süresi 1515 dakika ve muayene süresinin varyansı 75 dakika275 \text{ dakika}^2 olarak belirlenmiştir.

Buna göre, muayene edilmek üzere kuyrukta bekleyen ortalama ürün sayısı (LqL_q) kaçtır?

  1. A
    0,500,50
  2. B
    1,251,25
  3. 1,501,50Answer
  4. D
    2,252,25
  5. E
    3,003,00

Answer

Doğru cevap 1,501,50 değeridir.
Verilen problem bir (M/G/1) kuyruk modelidir. Zaman birimlerini dakika cinsinden sabitlediğimizde λ=1/20\lambda = 1/20 ürün/dakika ve E[S]=15E[S] = 15 dakika olur. Kullanım faktörü ρ=0,75\rho = 0,75'tir. Hizmet süresi varyansı σ2=75\sigma^2 = 75 olarak verilmiştir. Pollaczek-Khinchine formülü olan Lq=λ2σ2+ρ22(1−ρ)L_q = \frac{\lambda^2 \sigma^2 + \rho^2}{2(1-\rho)} denklemi çözüldüğünde pay kısmı 0,750,75, payda kısmı ise 0,500,50 çıkar. Oranlandığında sonuç 1,501,50 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen parametrelerin birimlerini ortak bir formata (dakika) dönüştürün.
Varış hızı λ=3 u¨ru¨n/saat=360=120 u¨ru¨n/dakika\lambda = 3 \text{ ürün/saat} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20} \text{ ürün/dakika}. Ortalama hizmet süresi E[S]=15 dakikaE[S] = 15 \text{ dakika}. Varyans σ2=75 dakika2\sigma^2 = 75 \text{ dakika}^2.
Pollaczek-Khinchine (P-K) formülünün doğru sonuç vermesi için tüm zaman birimlerinin uyuşması zorunludur.
2
Sistem kullanım oranını (ρ\rho) hesaplayın.
ρ=λ⋅E[S]=120⋅15=1520=0,75\rho = \lambda \cdot E[S] = \frac{1}{20} \cdot 15 = \frac{15}{20} = 0,75.
Sistemin dengede olduğunu doğrulamak (ρ<1\rho < 1) ve formülde kullanmak için kullanım oranı bulunmalıdır.
3
Pollaczek-Khinchine formülü ile kuyruktaki ortalama birim sayısını (LqL_q) hesaplayın.
Lq=λ2σ2+ρ22(1−ρ)=(120)2⋅75+(0,75)22(1−0,75)=75400+0,56252(0,25)=0,1875+0,56250,50=0,750,50=1,50L_q = \frac{\lambda^2 \sigma^2 + \rho^2}{2(1-\rho)} = \frac{(\frac{1}{20})^2 \cdot 75 + (0,75)^2}{2(1 - 0,75)} = \frac{\frac{75}{400} + 0,5625}{2(0,25)} = \frac{0,1875 + 0,5625}{0,50} = \frac{0,75}{0,50} = 1,50.
Hizmet süresi genel bir dağılıma (M/G/1) sahip olduğu için klasik M/M/1 formülü yerine varyansı hesaba katan P-K formülü kullanılmalıdır.

Key Concept

(M/G/1) Kuyruk Modeli ve Pollaczek-Khinchine Formülü
Rate this question

Topics

(M/G/1) Modeli ve Pollaczek-Khinchine Formülü

More questions from this topic