Examkin

Question

Difficulty: EasyBernoulli Dağılımı

Bir istatistiksel kalite kontrol sürecinde, bir ürünün 'kusurlu' olma durumunu temsil eden XX rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu MX(t)=0,7+0,3etM_X(t) = 0,7 + 0,3e^t olarak verilmiştir. Buna göre, bu rastgele değişkenin varyansı (Var(X)Var(X)) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 0,21Answer
  2. B
    0,09
  3. C
    0,55
  4. D
    0,39
  5. E
    0,30

Answer

Varyansın 0,21 olduğu seçenek doğrudur.
Bernoulli rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu MX(t)=(1−p)+petM_X(t) = (1-p) + pe^t olarak tanımlanır. Soruda verilen 0,7+0,3et0,7 + 0,3e^t ifadesinden başarı olasılığının p=0,3p=0,3 olduğu anlaşılır. Varyans formülü olan Var(X)=p(1−p)Var(X) = p(1-p) uygulandığında 0,3×(1−0,3)=0,3×0,7=0,210,3 \times (1 - 0,3) = 0,3 \times 0,7 = 0,21 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Moment çıkaran fonksiyondan parametre değerini belirleme
p=0,3p = 0,3 ve 1−p=0,71-p = 0,7
Bernoulli dağılımının moment çıkaran fonksiyonu MX(t)=(1−p)+petM_X(t) = (1-p) + pe^t formundadır. Verilen MX(t)=0,7+0,3etM_X(t) = 0,7 + 0,3e^t ifadesinden p=0,3p = 0,3 olduğu görülür.
2
Varyans formülünü uygulama
Var(X)=0,3×0,7=0,21Var(X) = 0,3 \times 0,7 = 0,21
Bernoulli dağılımına sahip bir rastgele değişken için varyans Var(X)=p(1−p)Var(X) = p(1-p) şeklinde hesaplanır.

Key Concept

Bernoulli dağılımında parametre tespiti ve varyans hesaplaması.

Alternative Method

Varyans, E[X2]−(E[X])2E[X^2] - (E[X])^2 formülü ile de bulunabilir. XX sadece 0 ve 1 değerlerini aldığı için X2=XX^2 = X olur. Bu durumda E[X2]=E[X]=pE[X^2] = E[X] = p olur. Varyans ise p−p2=p(1−p)p - p^2 = p(1-p) olarak türetilir.
Estimated Time:45s
Rate this question

Topics

Bernoulli Dağılımı

More questions from this topic