Examkin

Question

Difficulty: MediumRassal Yürüyüş (Random Walk)

Bir kumarbazın başlangıçta 2 TL'si vardır. Kumarbaz her adımda birbirinden bağımsız olarak p=0,4p = 0,4 olasılıkla 1 TL kazanmakta ve q=0,6q = 0,6 olasılıkla 1 TL kaybetmektedir.

Oyun, kumarbazın parası 4 TL'ye ulaştığında (hedefe varma) veya 0 TL'ye düştüğünde (iflas) sona ermektedir.

Buna göre, kumarbazın iflas etmeden önce 4 TL'ye ulaşma olasılığı kaçtır?

  1. A
    913\frac{9}{13}
  2. B
    12\frac{1}{2}
  3. C
    49\frac{4}{9}
  4. 413\frac{4}{13}Answer
  5. E
    425\frac{4}{25}

Answer

Kumarbazın 4 TL'ye ulaşma olasılığı 413\frac{4}{13} olarak hesaplanır.
Kumarbazın iflası (Gambler's Ruin) probleminde asimetrik rassal yürüyüş söz konusudur. Sınır koşulları P0=0P_0=0 ve P4=1P_4=1 kullanılarak kurulan Pi=0,4Pi+1+0,6Pi−1P_i = 0,4P_{i+1} + 0,6P_{i-1} lineer denklem sistemi çözüldüğünde P2=4/13P_2 = 4/13 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Durum uzayını ve geçiş olasılıklarını tanımlama
Başlangıç durumu i=2i=2, hedef M=4M=4, iflas 00. Kazanma olasılığı p=0,4p=0,4, kaybetme olasılığı q=0,6q=0,6.
Problemi bir rassal yürüyüş (kumarbazın iflası) modeli olarak ifade etmek için.
2
PiP_i yutulma olasılıkları için fark denklemini kurma
Her ii durumu için Pi=pPi+1+qPi−1P_i = p P_{i+1} + q P_{i-1} denklemi elde edilir. Sınır koşulları: P0=0P_0 = 0 ve P4=1P_4 = 1.
Herhangi bir ii durumundan hedefe ulaşma olasılığının, bir sonraki adımdaki olası durumlara bağlı koşullu olasılıkların toplamı olması.
3
i=1,2,3i=1, 2, 3 için geçiş denklemlerini yazma
P1=0,4P2+0,6(0)=0,4P2P_1 = 0,4 P_2 + 0,6(0) = 0,4 P_2
P2=0,4P3+0,6P1P_2 = 0,4 P_3 + 0,6 P_1
P3=0,4(1)+0,6P2=0,4+0,6P2P_3 = 0,4(1) + 0,6 P_2 = 0,4 + 0,6 P_2
Bilinmeyen P2P_2'yi bulabilmek amacıyla çözülebilir bir denklem sistemi oluşturmak.
4
Denklem sistemini çözerek P2P_2'yi hesaplama
P1P_1 ve P3P_3'ü P2P_2 denkleminde yerine koyarsak: P2=0,4(0,4+0,6P2)+0,6(0,4P2)=0,16+0,48P2P_2 = 0,4(0,4 + 0,6 P_2) + 0,6(0,4 P_2) = 0,16 + 0,48 P_2. Buradan 0,52P2=0,160,52 P_2 = 0,16 ve P2=1652=413P_2 = \frac{16}{52} = \frac{4}{13} bulunur.
Başlangıçtaki parası 2 TL olan kumarbazın hedefe ulaşma olasılığını matematiksel olarak bulmak.

Key Concept

Rassal Yürüyüşte Yutulma Olasılıkları (Gambler's Ruin / Kumarbazın İflası)

Alternative Method

Alternatif olarak Kumarbazın İflası (Gambler's Ruin) genel formülü kullanılabilir: p≠qp \neq q için hedefe ulaşma olasılığı Pi=1−(q/p)i1−(q/p)MP_i = \frac{1 - (q/p)^i}{1 - (q/p)^M} şeklindedir. Burada i=2i=2, M=4M=4, p=0,4p=0,4 ve q=0,6q=0,6 değerleri yerine konulduğunda: P2=1−(1,5)21−(1,5)4=1−2,251−5,0625=−1,25−4,0625=413P_2 = \frac{1 - (1,5)^2}{1 - (1,5)^4} = \frac{1 - 2,25}{1 - 5,0625} = \frac{-1,25}{-4,0625} = \frac{4}{13} elde edilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Rassal Yürüyüş (Random Walk)

More questions from this topic