Examkin

Question

Difficulty: EasyRassal Yürüyüş (Random Walk)

Bir nesne, sayı doğrusu üzerinde başlangıçta 00 noktasında bulunmaktadır. Bu nesne her bir adımda, birbirinden bağımsız olarak p=25p = \frac{2}{5} olasılıkla sağa (+1+1 birim) ve q=35q = \frac{3}{5} olasılıkla sola (−1-1 birim) hareket etmektedir. Buna göre, bu nesnenin 33 adım sonunda 11 noktasında bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 36125\frac{36}{125}Answer
  2. B
    12125\frac{12}{125}
  3. C
    54125\frac{54}{125}
  4. D
    8125\frac{8}{125}
  5. E
    27125\frac{27}{125}

Answer

Nesnenin 3 adım sonunda 1 noktasında bulunma olasılığı 36125\frac{36}{125}'tir.
Nesnenin 3 adımda 1 noktasına ulaşabilmesi için 2 kez sağa (+1) ve 1 kez sola (-1) gitmesi gerekir (2−1=12-1=1). Bu adımların diziliş sayısı (32)=3\binom{3}{2} = 3 olduğundan, toplam olasılık 3×(25)2×(35)=361253 \times (\frac{2}{5})^2 \times (\frac{3}{5}) = \frac{36}{125} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Gerekli sağa ve sola adım sayılarını belirleyin.
2 sağ (+1+1) ve 1 sol (−1-1) adım.
3 adım sonunda toplam yer değiştirmenin 11 olması için: k(1)+(3−k)(−1)=1⇒2k−3=1⇒k=2k(1) + (3-k)(-1) = 1 \Rightarrow 2k - 3 = 1 \Rightarrow k=2 olmalıdır.
2
Olasılığı hesaplamak için binom formülünü uygulayın.
P(S3=1)=(32)p2q1=3×(25)2×(35)1P(S_3 = 1) = \binom{3}{2} p^2 q^1 = 3 \times (\frac{2}{5})^2 \times (\frac{3}{5})^1
Adımlar bağımsız olduğu için 2 sağ ve 1 sol adımın farklı sıralanışları (32)\binom{3}{2} kadardır.
3
Matematiksel işlemi sonuçlandırın.
3×425×35=361253 \times \frac{4}{25} \times \frac{3}{5} = \frac{36}{125}
Kesirli ifadelerin çarpımı sonucunda toplam olasılığa ulaşılır.

Key Concept

Basit Rassal Yürüyüşte Belirli Bir Adım Sonunda Konum Olasılığı
Rate this question

Topics

Rassal Yürüyüş (Random Walk)

More questions from this topic