Examkin

Question

Difficulty: EasyRassal Yürüyüş (Random Walk)

Bir lojistik deposunda kullanılan insansız taşıma aracı, düz bir hat üzerinde belirlenen başlangıç noktasından (X0=0X_0 = 0) harekete geçmektedir. Bu araç, her bir zaman aralığında birbirinden bağımsız olarak p=0,7p = 0,7 olasılıkla bir birim ileri (+1+1) ve q=0,3q = 0,3 olasılıkla bir birim geri (−1-1) gitmektedir. Buna göre, aracın 100100 adım sonundaki konumunun beklenen değeri (E[X100]E[X_{100}]) kaçtır?

  1. A
    100100
  2. B
    7070
  3. 4040Answer
  4. D
    3030
  5. E
    00

Answer

Aracın 100100 adım sonundaki konumunun beklenen değeri 4040 birimdir.
Rassal yürüyüş modelinde aracın nn adım sonundaki konumu Xn=∑i=1nZiX_n = \sum_{i=1}^{n} Z_i olarak ifade edilir. Burada ZiZ_i her adımda alınan değerdir. E[Zi]=p⋅(1)+q⋅(−1)=0,7−0,3=0,4E[Z_i] = p \cdot (1) + q \cdot (-1) = 0,7 - 0,3 = 0,4 olarak hesaplanır. Beklenen değerin toplam özelliği gereği E[X100]=100⋅0,4=40E[X_{100}] = 100 \cdot 0,4 = 40 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Tek bir adımdaki yer değiştirme miktarı için beklenen değeri hesaplayın.
E[X1]=(1×0,7)+(−1×0,3)=0,7−0,3=0,4E[X_1] = (1 \times 0,7) + (-1 \times 0,3) = 0,7 - 0,3 = 0,4
Rassal yürüyüşte her adım bir bağımsız denemedir; ileri gidiş +1+1 ve geri gidiş −1-1 değerini alır.
2
Beklenen değerin doğrusallık özelliğini kullanarak 100100 adım sonundaki toplam yer değiştirmeyi bulun.
E[X100]=100×E[X1]=100×0,4=40E[X_{100}] = 100 \times E[X_1] = 100 \times 0,4 = 40
Bağımsız ve özdeş dağılımlı adımların toplamının beklenen değeri, adım sayısı ile tek bir adımın beklenen değerinin çarpımına eşittir.

Key Concept

Asimetrik rassal yürüyüşte beklenen konum (drift), adım sayısı ile her bir adımdaki net olasılık farkının (p−qp-q) çarpımıdır.

Practice More

Aynı senaryoda aracın konumunun varyansını (Var[X100]Var[X_{100}]) hesaplayarak stokastik süreçlerdeki yayılımı inceleyebilirsiniz.
Estimated Time:45s
Rate this question

Topics

Rassal Yürüyüş (Random Walk)

More questions from this topic