Examkin

Question

Difficulty: MediumRassal Yürüyüş (Random Walk)

Bir risk analizi modelinde, bir finansal göstergenin değeri her işlem gününün sonunda birbirinden bağımsız olarak p=13p = \frac{1}{3} olasılıkla 11 birim artmakta, q=23q = \frac{2}{3} olasılıkla 11 birim azalmaktadır. Göstergenin bugünkü değeri 11 birimdir. Gösterge değeri 00 birime düştüğünde sistem alarm vermekte, 44 birime ulaştığında ise hedef seviyeye ulaşıldığı kabul edilmektedir. İki durumda da izleme süreci sona ermektedir.

Buna göre, bu finansal göstergenin sistem alarm vermeden önce hedef seviyeye ulaşma olasılığı kaçtır?

  1. A
    815\frac{8}{15}
  2. B
    14\frac{1}{4}
  3. 115\frac{1}{15}Answer
  4. D
    1415\frac{14}{15}
  5. E
    127\frac{1}{27}

Answer

Finansal göstergenin alarm vermeden önce hedef seviyeye ulaşma olasılığı 115\frac{1}{15}'tir.
Asimetrik rassal yürüyüş modelinde ii noktasından başlayıp 00'dan önce NN noktasına ulaşma olasılığı Pi=1−(q/p)i1−(q/p)NP_i = \frac{1 - (q/p)^i}{1 - (q/p)^N} formülü ile bulunur. Verilen problemde başlangıç durumu i=1i=1, üst sınır N=4N=4, p=1/3p=1/3 ve q=2/3q=2/3 olarak verilmiştir. Geçiş oranı r=q/p=(2/3)/(1/3)=2r = q/p = (2/3)/(1/3) = 2 olur. Formülde yerine yazıldığında P1=1−211−24=−1−15=115P_1 = \frac{1 - 2^1}{1 - 2^4} = \frac{-1}{-15} = \frac{1}{15} sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Problemi asimetrik rassal yürüyüş (kumarbazın iflası) modeli olarak parametrelerine ayırın.
Başlangıç durumu i=1i=1, alt yutan durum 00, üst yutan durum N=4N=4, sağa gitme (artma) olasılığı p=1/3p=1/3, sola gitme (azalma) olasılığı q=2/3q=2/3.
Sürecin sınır ve geçiş parametrelerinin doğru tanımlanması, uygun olasılık formülünün seçilmesi için gereklidir.
2
Asimetrik yürüyüş için oran parametresi olan r=q/pr = q/p değerini hesaplayın.
r=2/31/3=2r = \frac{2/3}{1/3} = 2
Durumlar arası geçiş asimetrisini modele yansıtmak için q/p oranı kullanılır.
3
Alt yutan durumdan (0) önce üst yutan duruma (N) ulaşma olasılığı formülünü uygulayın.
P1=1−ri1−rN=1−211−24P_1 = \frac{1 - r^i}{1 - r^N} = \frac{1 - 2^1}{1 - 2^4}
Bu formül, iki yutan durumu olan asimetrik rassal yürüyüşlerde üst sınıra daha önce ulaşma olasılığını verir.
4
Matematiksel işlemi sonuçlandırın.
P1=1−21−16=−1−15=115P_1 = \frac{1 - 2}{1 - 16} = \frac{-1}{-15} = \frac{1}{15}
Kesirli ifadelerin sadeleştirilmesiyle nihai hedef olasılığı elde edilir.

Key Concept

Asimetrik Rassal Yürüyüş (Gambler's Ruin)
Rate this question

Topics

Rassal Yürüyüş (Random Walk)

More questions from this topic