Examkin

Question

Difficulty: Very hardTek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı
Bir kamu çağrı merkezine gelen müşteri çağrılarının süreleri (dakika), olasılık yoğunluk fonksiyonu
f(x;θ)=1θe−x/θ,x>0f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, \quad x > 0
olan üstel dağılıma uymaktadır. Bu kitleye ait ortalama çağrı süresini (θ\theta) tahmin etmek amacıyla rastgele seçilen n=10n=10 çağrının süreleri ölçülmüş ve örneklem ortalaması Xˉ=5\bar{X} = 5 dakika olarak hesaplanmıştır.

Kitle ortalaması θ\theta için oluşturulacak %90\%90 güven düzeyindeki aralık tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: χ(v,α)2\chi^2_{(v, \alpha)} notasyonu, vv serbestlik dereceli Ki-kare dağılımının sağ kuyruk alanını α\alpha yapan kritik değerdir. Hesaplamalarda kullanılmak üzere bazı tablo değerleri aşağıda verilmiştir:
- χ(10,0.95)2=3.94,χ(10,0.05)2=18.31\chi^2_{(10, 0.95)} = 3.94, \quad \chi^2_{(10, 0.05)} = 18.31
- χ(19,0.95)2=10.12,χ(19,0.05)2=30.14\chi^2_{(19, 0.95)} = 10.12, \quad \chi^2_{(19, 0.05)} = 30.14
- χ(20,0.95)2=10.85,χ(20,0.05)2=31.41\chi^2_{(20, 0.95)} = 10.85, \quad \chi^2_{(20, 0.05)} = 31.41
- Standart normal dağılım için Z0.05=1.645Z_{0.05} = 1.645)

  1. [10031.41, 10010.85]\left[ \frac{100}{31.41}, \, \frac{100}{10.85} \right]Answer
  2. B
    [10010.85, 10031.41]\left[ \frac{100}{10.85}, \, \frac{100}{31.41} \right]
  3. C
    [5018.31, 503.94]\left[ \frac{50}{18.31}, \, \frac{50}{3.94} \right]
  4. D
    [10030.14, 10010.12]\left[ \frac{100}{30.14}, \, \frac{100}{10.12} \right]
  5. E
    [5−1.645510, 5+1.645510]\left[ 5 - 1.645 \frac{5}{\sqrt{10}}, \, 5 + 1.645 \frac{5}{\sqrt{10}} \right]

Answer

Doğru aralık tahmini, 2nXˉθ∼χ2n2\frac{2n\bar{X}}{\theta} \sim \chi^2_{2n} pivot fonksiyonu kullanılarak elde edilen ve sınırları 100/31.41100/31.41 ile 100/10.85100/10.85 olan aralıktır.
Üstel dağılım gösteren bir kitlenin ortalaması θ\theta için güven aralığı oluşturulurken normal dağılım yaklaşımları yerine kesin (exact) dağılıma sahip bir pivot fonksiyonu kullanılır. 2nXˉθ∼χ2n2\frac{2n\bar{X}}{\theta} \sim \chi^2_{2n} bu kitle için uygun pivot fonksiyondur. n=10n=10 ve Xˉ=5\bar{X}=5 verildiği için pivotumuz 100θ∼χ202\frac{100}{\theta} \sim \chi^2_{20} olur. %90\%90 güven düzeyinde eşitsizliğimiz 10.85<100θ<31.4110.85 < \frac{100}{\theta} < 31.41 şeklini alır. Bu eşitsizlik θ\theta için çözüldüğünde 10031.41<θ<10010.85\frac{100}{31.41} < \theta < \frac{100}{10.85} elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Üstel dağılım için uygun pivot fonksiyonunu belirleme.
2nXˉθ∼χ2n2\frac{2n\bar{X}}{\theta} \sim \chi^2_{2n} pivot fonksiyonu elde edilir.
Xi∼Exp(θ)X_i \sim \text{Exp}(\theta) iken 2Xiθ\frac{2X_i}{\theta} dönüşümü 2 serbestlik dereceli Ki-kare dağılımına uyar. nn adet bağımsız gözlemin toplamı ise 2n2n serbestlik dereceli Ki-kare olur.
2
Verilen değerleri pivot fonksiyonunda yerine koyma ve serbestlik derecesini hesaplama.
Pay kısmı: 2nXˉ=2×10×5=1002n\bar{X} = 2 \times 10 \times 5 = 100. Serbestlik derecesi: 2n=202n = 20. Pivot fonksiyonumuz: 100θ∼χ202\frac{100}{\theta} \sim \chi^2_{20} olur.
Soruda verilen örneklem çapı (n=10n=10) ve örneklem ortalaması (Xˉ=5\bar{X}=5) değerleri formülde yerlerine konur.
3
%90\%90 güven düzeyi için uygun kritik değerleri belirleme.
Tablodan alt sınır için χ(20,0.95)2=10.85\chi^2_{(20, 0.95)} = 10.85, üst sınır için χ(20,0.05)2=31.41\chi^2_{(20, 0.05)} = 31.41 değerleri seçilir.
Güven düzeyi %90\%90 olduğundan, toplam α=0.10\alpha = 0.10 hata payı iki kuyruğa (α/2=0.05\alpha/2 = 0.05) eşit dağıtılır.
4
Güven aralığı eşitsizliğini oluşturup θ\theta için çözme.
10.85<100θ<31.41  ⟹  10031.41<θ<10010.8510.85 < \frac{100}{\theta} < 31.41 \implies \frac{100}{31.41} < \theta < \frac{100}{10.85} aralığı bulunur.
Bulunan aralık sınırları ters çevrildiğinde (θ\theta'yı yalnız bırakmak için) eşitsizliğin yönü de tersine döner, böylece doğru alt ve üst sınırlar elde edilir.

Key Concept

Üstel dağılım kitle ortalaması için tam dağılımlı pivot fonksiyonu bulma ve Ki-kare dağılımı yardımıyla asimetrik güven aralığı hesaplama.
Rate this question

Topics

Tek Kitle Ortalaması İçin Güven Aralığı

More questions from this topic