Bir araştırmacı, kitle büyüklüğü N=6000 olan bir kitleyi L=3 tabakaya ayırmıştır. Araştırm… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, kitle büyüklüğü $N=6000$ olan bir kitleyi $L=3$ tabakaya ayırmıştır. Araştırmacı, kitle ortalamasını tahmin etmek amacıyla $n=120$ hacimli bir örneklemi eşit dağıtım (equal allocation) yöntemiyle tabakalara dağıtmıştır. Tabakalara ait kitle büyüklükleri ( $N_h$ ), standart sapmalar ( $S_h$ ) ve çalışma sonucunda elde edilen örneklem ortalamaları ( $\bar{y}_h$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka ( $h$ )	Kitle Büyüklüğü ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )	Örneklem Ortalaması ( $\bar{y}_h$ )
1	3000	10	50
2	2000	15	60
3	1000	30	90

Buna göre, uygulanan örnekleme tasarımı ve tahmin süreciyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Tüm tabakalar için $N_h \cdot S_h$ çarpımları eşit olduğundan, eşit dağıtım yöntemi varyansı minimum yapan Neyman dağıtımı ile aynı örneklem dağılımını sağlamıştır ve kitle ortalamasının yansız tahmini $60$ 'tır.Answer
B
Eşit dağıtım yönteminde her tabakadan eşit sayıda ( $n_h=40$ ) birim çekildiği için tabaka ağırlıklarına gerek kalmaz; bu nedenle kitle ortalamasının yansız tahmini $66,67$ 'dir.
C
Orantılı dağıtım tercih edilseydi 1. tabakadan $60$ birim seçilirdi ve eşit dağıtıma kıyasla kitle ortalaması tahmini için daha küçük bir varyans (daha yüksek etkinlik) elde edilirdi.
D
Tabaka standart sapmaları birbirinden farklı olduğu için eşit dağıtım yansız bir tahmin üretmez; yansızlık için örneklem büyüklüklerinin varyanslarla orantılı olması gerekir.

Answer

Eşit dağıtım yönteminin bu özel kitlede optimum dağıtımla aynı sonucu verdiğini ve kitle ortalaması tahmininin doğru hesaplandığını belirten seçenek doğrudur.

Verilen problemde her bir tabaka için Kitle Büyüklüğü (

N_h

) ile Standart Sapmanın (

S_h

) çarpımı hesaplandığında hepsinin

30000

'e eşit olduğu görülür. Optimum (Neyman) dağıtım formülünde örneklem payları bu çarpımla orantılıdır; çarpımlar eşit olduğunda Neyman dağıtımı doğal olarak tabakalara eşit pay dağıtır. Bu nedenle eşit dağıtım varyansı minimize eder. Ayrıca

\bar{y}_{st}

formülüyle hesaplanan yansız ortalama tahmini

0,5(50) + 0,33(60) + 0,16(90) = 60

olarak doğru verilmiştir.

Step-by-Step Solution

Eşit dağıtıma göre her tabakadan çekilen örneklem hacmini (

n_h

) hesapla.

n_1 = n_2 = n_3 = 120 / 3 = 40

birim.

Eşit dağıtım kuralı gereği toplam örneklem hacmi tabaka sayısına eşit olarak paylaştırılır.

Kitle ortalamasının yansız tahmini için tabaka ağırlıklarını (

W_h

) bul ve

\bar{y}_{st} = \sum W_h \bar{y}_h

formülünü uygula.

W_1 = 3000/6000 = 1/2

W_2 = 2000/6000 = 1/3

W_3 = 1000/6000 = 1/6

. Ortalama:

(1/2 \times 50) + (1/3 \times 60) + (1/6 \times 90) = 25 + 20 + 15 = 60

Tabakalı örneklemede yansız kitle ortalaması tahmini, tabaka örneklem ortalamalarının kitledeki tabaka büyüklükleriyle ağırlıklandırılmasıyla bulunur.

Her tabaka için Neyman dağıtım paylarını (

N_h \cdot S_h

) hesapla ve orantılı dağıtımla karşılaştır.

Neyman için:

3000 \times 10 = 30000

;

2000 \times 15 = 30000

;

1000 \times 30 = 30000

. Tüm çarpımlar eşittir. Orantılı dağıtım için 1. tabaka:

120 \times (3000/6000) = 60

Seçeneklerdeki Neyman ve orantılı dağıtım kıyaslamalarının teorik doğruluğunu test etmek.

Elde edilen verileri analiz ederek seçenekleri değerlendir.

N_h \cdot S_h

sabit olduğundan optimum (Neyman) dağıtım formülü

n_h = n/L

sonucunu verir. Eşit dağıtım bu durumda varyansı minimize eder.

Neyman dağıtım formülündeki pay kısımlarının eşit olması, bu özel kitle parametreleri altında eşit dağıtımın matematiksel olarak optimum olduğunu kanıtlar.

Key Concept

Eşit Dağıtımda Ağırlıklandırma ve Optimum Dağıtıma İndirgenme Şartları

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic