Bir büyükşehir belediyesi, hanelerin aylık ortalama su tüketimini tahmin etmek amacıyla il… — KPSS İstatistik

Bir büyükşehir belediyesi, hanelerin aylık ortalama su tüketimini tahmin etmek amacıyla ilçedeki konutları yapı tiplerine göre üç tabakaya ayırmıştır. Tabakalara ilişkin kitledeki konut sayıları ( $N_h$ ) ve geçmiş çalışmalardan elde edilen standart sapma ( $S_h$ ) değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka (Yapı Tipi)	Konut Sayısı ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
1. Tabaka (Apartman)	4000	20
2. Tabaka (Müstakil)	2000	30
3. Tabaka (Villa)	1000	60

Bu çalışma için toplam $n = 350$ hacimli bir örneklem seçilmesi planlanmaktadır. Tüm tabakalarda birim araştırma maliyetlerinin eşit olduğu varsayılmaktadır.

Buna göre, 3. tabakadan (Villa) seçilecek örneklem hacmi, Neyman (optimum) dağıtımı kullanılarak belirlendiğinde orantılı dağıtıma kıyasla nasıl bir değişim gösterir?

55 birim artarAnswer
B
60 birim azalır
C
5 birim artar
D
105 birim artar
E
141 birim artar

Answer

3. tabakadan seçilecek örneklem hacmi orantılı dağıtıma kıyasla 55 birim artar.

Orantılı dağıtımda 3. tabakaya düşen örneklem hacmi toplam örneklemin kitle içindeki oranına göre

350 \times (1000/7000) = 50

birimdir. Neyman dağıtımında ise her tabakanın büyüklüğü ve standart sapması birlikte dikkate alınır (

\sum N_h S_h = 200000

). Bu durumda 3. tabaka için Neyman dağıtımı

350 \times (60000/200000) = 105

birim hesaplanır. İki yöntem arasındaki fark

105 - 50 = 55

birimdir. 3. tabakanın değişkenliği yüksek olduğu için Neyman dağıtımı bu tabakaya daha fazla ağırlık vererek örneklem hacmini 55 birim artırmıştır.

Step-by-Step Solution

Orantılı dağıtım yöntemiyle 3. tabakadan alınacak örneklem hacminin (

n_{3(Orantılı)}

) hesaplanması.

n_{3(Orantılı)} = n \times \frac{N_3}{N} = 350 \times \frac{1000}{7000} = 350 \times \frac{1}{7} = 50

birim.

Orantılı dağıtımda tabakaların standart sapmaları dikkate alınmaz, örneklem büyüklüğü kitledeki tabaka oranlarına göre paylaştırılır.

Neyman dağıtımı için

N_h \times S_h

çarpımlarının ve bu çarpımların toplamının bulunması.

N_1 S_1 = 4000 \times 20 = 80000

N_2 S_2 = 2000 \times 30 = 60000

N_3 S_3 = 1000 \times 60 = 60000

\sum N_h S_h = 80000 + 60000 + 60000 = 200000

Maliyetlerin eşit olduğu durumda varyansı minimize eden Neyman dağıtımında, tabakalara ayrılacak örneklem büyüklükleri hem tabaka hacmi (

N_h

) hem de tabaka standart sapması (

S_h

) ile ağırlıklandırılır.

Neyman dağıtımı yöntemiyle 3. tabakadan alınacak örneklem hacminin (

n_{3(Neyman)}

) hesaplanması.

n_{3(Neyman)} = n \times \frac{N_3 S_3}{\sum N_h S_h} = 350 \times \frac{60000}{200000} = 350 \times 0.3 = 105

birim.

Bulunan toplam ağırlık değerleri formülde yerine konularak optimum dağıtımdaki birim sayısı elde edilir.

İki dağıtım yöntemi sonucunda 3. tabaka için bulunan örneklem hacimlerinin karşılaştırılması.

Neyman dağıtımı (

105

) - Orantılı dağıtım (

50

) =

55

. Yani 55 birim artar.

3. tabakanın değişkenliği (standart sapması = 60) diğer tabakalara göre daha yüksek olduğu için, Neyman dağıtımı orantılı dağıtıma göre bu tabakadan daha fazla gözlem yapılmasını gerektirir.

Key Concept

Maliyetlerin eşit olduğu tabakalı rastgele örneklemede Orantılı Dağıtım ve Neyman Dağıtımı yöntemlerinin hesaplanması ve karşılaştırılması.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic