Examkin

Question

Difficulty: MediumTahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bir sigorta şirketinin aktüerya departmanı, poliçe sahiplerinin hasar taleplerini incelemektedir. Bir poliçe sahibinin r=4r=4 adet hasar talebinde bulunana kadar geçen ay sayısı XX rassal değişkeni ile modellenmektedir. XX'in olasılık fonksiyonu, pp (0<p<10 < p < 1) herhangi bir ayda hasar talebi gelme olasılığı olmak üzere,

P(X=x;p)=(x−13)p4(1−p)x−4,x=4,5,6,…P(X=x; p) = \binom{x-1}{3} p^4 (1-p)^{x-4}, \quad x = 4, 5, 6, \dots

şeklinde verilmiştir.

Rastgele seçilen nn adet poliçe sahibi için 4. hasar talebine kadar geçen ay sayıları X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olarak gözlemlenmiştir.

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi dikkate alındığında, pp parametresi için yeterli (süfisan) istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    ∏i=1nXi\prod_{i=1}^n X_i
  2. B
    max⁡(X1,X2,…,Xn)\max(X_1, X_2, \dots, X_n)
  3. ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_iAnswer
  4. D
    ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2
  5. E
    ∏i=1n(Xi−13)\prod_{i=1}^n \binom{X_i-1}{3}

Answer

pp parametresi için yeterli istatistik, gözlemlerin toplamı olan ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i'dir.
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre olabilirlik fonksiyonu L(p;x)=g(T(x)∣p)⋅h(x)L(p; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x})|p) \cdot h(\mathbf{x}) şeklinde iki parçaya ayrılır. Örneklem verileri için olabilirlik fonksiyonu düzenlendiğinde parametre pp'yi içeren kısım p4n(1−p)∑Xi−4np^{4n}(1-p)^{\sum X_i - 4n} olarak bulunur. Bu ifade örnekleme yalnızca ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i üzerinden bağlı olduğundan, doğru cevap gözlemlerin toplamını veren istatistiktir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen olasılık fonksiyonunu kullanarak nn birimlik örneklem için olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu yazmak.
L(p;x)=∏i=1n[(xi−13)p4(1−p)xi−4]L(p; \mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \left[ \binom{x_i-1}{3} p^4 (1-p)^{x_i-4} \right]
Yeterli istatistiği bulmak için öncelikle örneklemin ortak olasılık dağılımını temsil eden olabilirlik fonksiyonuna ihtiyaç vardır.
2
Olabilirlik fonksiyonundaki çarpım işlemini düzenleyerek ifadeyi sadeleştirmek ve üslü ifadeleri toplamak.
L(p;x)=p4n(1−p)∑i=1n(xi−4)∏i=1n(xi−13)=[p4n(1−p)∑i=1nxi−4n]×[∏i=1n(xi−13)]L(p; \mathbf{x}) = p^{4n} (1-p)^{\sum_{i=1}^n (x_i-4)} \prod_{i=1}^n \binom{x_i-1}{3} = \left[ p^{4n} (1-p)^{\sum_{i=1}^n x_i - 4n} \right] \times \left[ \prod_{i=1}^n \binom{x_i-1}{3} \right]
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ni uygulayabilmek için parametreyi içeren terimler ile içermeyen terimleri belirgin şekilde ayırmak gerekir.
3
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi kuralını (L=g(T(x)∣p)⋅h(x)L = g(T(\mathbf{x}) | p) \cdot h(\mathbf{x})) uygulamak.
Parametreye bağlı kısım: g(T(x)∣p)=p4n(1−p)∑i=1nxi−4ng(T(\mathbf{x}) | p) = p^{4n} (1-p)^{\sum_{i=1}^n x_i - 4n}
Parametreden bağımsız kısım: h(x)=∏i=1n(xi−13)h(\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \binom{x_i-1}{3}
Teoreme göre, pp'ye bağlı olan gg fonksiyonu, örnekleme yalnızca yeterli istatistik T(x)T(\mathbf{x}) üzerinden bağlı olmalıdır.
4
gg fonksiyonu üzerinden yeterli istatistiği teşhis etmek.
T(x)=∑i=1nXiT(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n X_i
Parametreye bağlı olan gg fonksiyonu incelendiğinde, örneklem verilerinin (gözlemlerin) fonksiyon içinde sadece toplam (∑i=1nxi\sum_{i=1}^n x_i) formunda yer aldığı görülmektedir.

Key Concept

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ile Yeterli İstatistik Bulma
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

More questions from this topic