Examkin

Question

Difficulty: MediumTahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

Bir belediyenin harita kadastro müdürlüğü tarafından yürütülen arazi ölçüm çalışmalarında, cihazlardan kaynaklanan ölçüm hataları (XX) ortalaması sıfır olan bir Laplace (çift üstel) dağılımı göstermektedir. Bu kitlenin olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir:

f(x;θ)=12θe−∣x∣θ,−∞<x<∞,θ>0f(x; \theta) = \frac{1}{2\theta} e^{-\frac{|x|}{\theta}}, \quad -\infty < x < \infty, \quad \theta > 0

Buna göre, rastgele seçilen nn birimlik bir örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) temelinde θ\theta parametresi için Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. ∑i=1n∣Xi∣\sum_{i=1}^{n} |X_i|Answer
  2. B
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^{n} X_i
  3. C
    ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^{n} X_i^2
  4. D
    ∏i=1nXi\prod_{i=1}^{n} X_i
  5. E
    \max(X_1, \dots, X_n)

Answer

Verilen Laplace dağılımı için θ\theta parametresine ait yeterli istatistik, gözlemlerin mutlak değerlerinin toplamı olan ∑i=1n∣Xi∣\sum_{i=1}^{n} |X_i| ifadesidir.
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre, olabilirlik fonksiyonu g(T(x),θ)h(x)g(T(\mathbf{x}), \theta) h(\mathbf{x}) şeklinde yazılabiliyorsa T(x)T(\mathbf{x}) yeterli bir istatistiktir. Laplace dağılımının çarpım formunda, üstel terimler toplandığında ∑∣xi∣\sum |x_i| ifadesi elde edilir ve bu ifade θ\theta ile birlikte gg fonksiyonunu oluşturur.

Step-by-Step Solution

1
Örneklemin olabilirlik fonksiyonunu yazın.
L(θ;x1,…,xn)=∏i=1n(12θe−∣xi∣θ)=(12θ)ne−∑i=1n∣xi∣θL(\theta; x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{2\theta} e^{-\frac{|x_i|}{\theta}} \right) = \left( \frac{1}{2\theta} \right)^n e^{-\frac{\sum_{i=1}^{n} |x_i|}{\theta}}
Neyman teoremini uygulamak için önce tüm gözlemlerin ortak olasılık fonksiyonu oluşturulmalıdır.
2
Olabilirlik fonksiyonunu Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre parçalara ayırın.
L(θ;x)=g(T(x),θ)⋅h(x)L(\theta; \mathbf{x}) = g(T(\mathbf{x}), \theta) \cdot h(\mathbf{x}) biçiminde yazılırsa: g(T(x),θ)=1θne−∑∣xi∣θg(T(\mathbf{x}), \theta) = \frac{1}{\theta^n} e^{-\frac{\sum |x_i|}{\theta}} ve h(x)=12nh(\mathbf{x}) = \frac{1}{2^n} olur.
Teorem gereği, veriye sadece bir istatistik (TT) üzerinden bağlı olan kısım (gg) ile parametreden bağımsız olan kısım (hh) ayrıştırılmalıdır.
3
gg fonksiyonu içindeki istatistiği belirleyin.
T(X1,…,Xn)=∑i=1n∣Xi∣T(X_1, \dots, X_n) = \sum_{i=1}^{n} |X_i|
gg fonksiyonunun gözlemlere bağımlılığı sadece mutlak değerlerin toplamı üzerinden gerçekleşmektedir.

Key Concept

Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ve Laplace Dağılımı
Rate this question

Topics

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Yeterlilik ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi

More questions from this topic