Examkin

Question

Difficulty: Medium(M/M/c/K) Çok Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model

Bir kamu bankası şubesinde 22 adet vezne hizmet vermektedir. Bankaya gelen müşteriler, saatte ortalama 22 kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uygun bir varış süreci izlemektedir. Her bir vezne görevlisi, bir müşteriye ortalama 3030 dakikada hizmet sunmakta olup hizmet süreleri üstel dağılıma uygundur. Bankada fiziksel alan kısıtlılığı nedeniyle, sistemde bulunabilecek toplam müşteri sayısı (veznede hizmet alanlar ve kuyrukta bekleyenler dahil) en fazla 33 kişi ile sınırlandırılmıştır. Sistem tam kapasiteye ulaştığında gelen müşteriler bankaya kabul edilmemektedir.

Buna göre, bu banka şubesinde kararlı hal (steady-state) durumunda sistemdeki ortalama müşteri sayısı (LsL_s) kaçtır?

  1. A
    1/111/11
  2. B
    4/114/11
  3. C
    10/1110/11
  4. 11Answer
  5. E
    4/34/3

Answer

Sistemdeki ortalama müşteri sayısı (LsL_s) 11 olarak hesaplanır.
Denge durumundaki olasılıklar hesaplandığında P0=4/11P_0=4/11, P1=4/11P_1=4/11, P2=2/11P_2=2/11 ve P3=1/11P_3=1/11 bulunur. Bu olasılıklar kullanılarak hesaplanan beklenen değer Ls=1×(4/11)+2×(2/11)+3×(1/11)=1L_s = 1 \times (4/11) + 2 \times (2/11) + 3 \times (1/11) = 1 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Model parametrelerinin belirlenmesi
λ=2\lambda = 2 müşteri/saat, μ=2\mu = 2 müşteri/saat (3030 dk = 0.50.5 saat →1/0.5=2\rightarrow 1/0.5 = 2), c=2c = 2 vezne, K=3K = 3 sistem kapasitesi.
Kuyruk modelini tanımlamak için varış hızı, hizmet hızı, kanal sayısı ve sistem kapasitesi netleştirilmelidir.
2
Trafik yoğunluğu (uu) ve sistemin boş olma olasılığının (P0P_0) hesaplanması
u=λ/μ=2/2=1u = \lambda / \mu = 2 / 2 = 1. 1/P0=∑n=011nn!+∑n=231n2!2n−2=(1+1)+(1/2+1/4)=2.75=11/41/P_0 = \sum_{n=0}^{1} \frac{1^n}{n!} + \sum_{n=2}^{3} \frac{1^n}{2! 2^{n-2}} = (1+1) + (1/2 + 1/4) = 2.75 = 11/4. Buradan P0=4/11P_0 = 4/11.
Sonlu kapasiteli modellerde durum olasılıklarını bulmak için öncelikle P0P_0 hesaplanmalıdır.
3
Sistemdeki müşteri sayısı olasılıklarının (PnP_n) hesaplanması
P1=uP0=4/11P_1 = u P_0 = 4/11, P2=u22P0=2/11P_2 = \frac{u^2}{2} P_0 = 2/11, P3=u34P0=1/11P_3 = \frac{u^3}{4} P_0 = 1/11.
Beklenen değer hesabı için her bir durumun (n=0,1,2,3n=0,1,2,3) gerçekleşme olasılığı gereklidir.
4
Ortalama müşteri sayısının (LsL_s) hesaplanması
Ls=∑n=03nPn=0(4/11)+1(4/11)+2(2/11)+3(1/11)=(4+4+3)/11=11/11=1L_s = \sum_{n=0}^{3} n P_n = 0(4/11) + 1(4/11) + 2(2/11) + 3(1/11) = (4 + 4 + 3)/11 = 11/11 = 1.
Sistemdeki ortalama müşteri sayısı, müşteri sayılarının olasılıkları ile ağırlıklı ortalamasıdır.

Key Concept

(M/M/c/K)(M/M/c/K) Çok Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Kuyruk Modeli Performans Ölçütleri

Practice More

Sistemin müşteriyi reddetme olasılığını (PKP_K) hesaplayarak kapasite artırımının etkisini inceleyiniz.

Alternative Method

Önce λeff=λ(1−P3)\lambda_{eff} = \lambda(1 - P_3) hesaplanıp, sonra Little Teoremi yardımıyla Ls=Lq+(λeff/μ)L_s = L_q + (\lambda_{eff} / \mu) formülü kullanılabilir. λeff=2(1−1/11)=20/11\lambda_{eff} = 2(1 - 1/11) = 20/11. Ls=1/11+(20/11/2)=1/11+10/11=1L_s = 1/11 + (20/11 / 2) = 1/11 + 10/11 = 1.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

(M/M/c/K) Çok Kanallı ve Sonlu Kapasiteli Model

More questions from this topic