Examkin

Question

Difficulty: Very hardI. ve II. Tip Hatalar ile Anlamlılık Düzeyi

Bir XX rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x;θ)={θxθ+1,x≥10,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{\theta}{x^{\theta+1}}, & x \geq 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}
Bu dağılımdan çekilen tek bir XX gözlemine dayanılarak,
H0:θ=2H_0: \theta = 2
H1:θ=3H_1: \theta = 3
hipotezleri test edilecektir. Neyman-Pearson leması kullanılarak oluşturulan en güçlü testin anlamlılık düzeyi α=0,36\alpha = 0,36 olarak belirlenmiştir.

Buna göre, bu testin gücü kaçtır?

  1. A
    0,216
  2. 0,488Answer
  3. C
    0,512
  4. D
    0,640
  5. E
    0,784

Answer

0,488
Neyman-Pearson lemasına göre en güçlü test, L(θ1)/L(θ0)>kL(\theta_1)/L(\theta_0) > k şartını sağlayan bölgedir. 3/x42/x3=1,5x>k\frac{3/x^4}{2/x^3} = \frac{1,5}{x} > k eşitsizliği x<1,5kx < \frac{1,5}{k} yani X<cX < c biçimine dönüşür. Anlamlılık düzeyi (Tip I hata), doğru olan H0H_0'ı reddetme olasılığıdır: α=P(X<c∣θ=2)=∫1c2x−3dx=1−c−2=0,36\alpha = P(X < c \mid \theta=2) = \int_1^c 2x^{-3}dx = 1 - c^{-2} = 0,36. Bu denklemden c2=100/64c^2 = 100/64 ve c=1,25c = 1,25 (yani 5/45/4) elde edilir. Testin gücü ise alternatif hipotez doğru iken H0H_0'ı reddetme olasılığıdır (1−β1-\beta). H1H_1 altında red bölgesinin hesaplanması: ∫11,253x−4dx=1−(1,25)−3=1−64125=1−0,512=0,488\int_1^{1,25} 3x^{-4}dx = 1 - (1,25)^{-3} = 1 - \frac{64}{125} = 1 - 0,512 = 0,488 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Neyman-Pearson oranını hesaplayarak red bölgesinin yapısını (eşitsizlik yönünü) belirlemek.
L(θ1)/L(θ0)=3/x42/x3=1,5xL(\theta_1) / L(\theta_0) = \frac{3/x^4}{2/x^3} = \frac{1,5}{x} bulunur. Bu oran xx küçüldükçe büyüyeceğinden, en güçlü testin red bölgesi X<cX < c formatındadır.
Neyman-Pearson lemasına göre en güçlü test, alternatif olabilirlik değerinin yokluk olabilirlik değerine oranının belli bir k kritik değerinden büyük olduğu bölgedir.
2
Verilen anlamlılık düzeyi (α=0,36\alpha = 0,36) eşitliğini kullanarak cc kritik değerini hesaplamak.
α=P(X<c∣θ=2)=∫1c2x−3dx=[−x−2]1c=1−1c2=0,36\alpha = P(X < c \mid \theta=2) = \int_1^c 2x^{-3}dx = \left[ -x^{-2} \right]_1^c = 1 - \frac{1}{c^2} = 0,36. Buradan 1c2=0,64  ⟹  c=1,25\frac{1}{c^2} = 0,64 \implies c = 1,25 (5/45/4) olarak elde edilir.
Tip I hata olasılığı (anlamlılık düzeyi), yokluk hipotezi (H0H_0) doğruyken test istatistiğinin red bölgesine düşme olasılığıdır.
3
Bulunan c=1,25c = 1,25 değeri ile alternatif hipotez (H1H_1) altında testin gücünü (1−β1-\beta) hesaplamak.
Güç =P(X<1,25∣θ=3)=∫11,253x−4dx=[−x−3]11,25=1−1(1,25)3= P(X < 1,25 \mid \theta=3) = \int_1^{1,25} 3x^{-4}dx = \left[ -x^{-3} \right]_1^{1,25} = 1 - \frac{1}{(1,25)^3}. (5/4)3=125/64(5/4)^3 = 125/64 olduğundan, 1−64125=1−0,512=0,4881 - \frac{64}{125} = 1 - 0,512 = 0,488 bulunur.
Testin gücü, alternatif hipotez (H1H_1) doğruyken test istatistiğinin red bölgesine düşme olasılığıdır.

Key Concept

Neyman-Pearson Lemması, Tip I Hata (α\alpha), Tip II Hata (β\beta) ve Testin Gücü (1−β1-\beta)
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

I. ve II. Tip Hatalar ile Anlamlılık Düzeyi

More questions from this topic