Examkin

Question

Difficulty: EasyTamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Bir kamu kurumundaki personelin günlük dosya işleme sırasında yaptığı hata sayısı λ\lambda parametreli Poisson dağılımına uymaktadır. Bu kurumdan rastgele seçilen nn personelin hata sayıları X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n ile gösterilmektedir. T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i istatistiğinin λ\lambda için tam (complete) ve yeterli (sufficient) bir istatistik olduğu bilindiğine göre, Lehmann-Scheffe teoremi çerçevesinde λ\lambda parametresinin düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicisi (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i
  2. 1n∑i=1nXi\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_iAnswer
  3. C
    X1X_1
  4. D
    n⋅∑i=1nXin \cdot \sum_{i=1}^n X_i
  5. E
    1n−1∑i=1nXi\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n X_i

Answer

Örneklem ortalaması olan 1n∑i=1nXi\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i ifadesi, λ\lambda parametresinin UMVUE'sidir.
Lehmann-Scheffe teoremine göre, bir parametre için tam ve yeterli olan bir istatistiğin yansız herhangi bir fonksiyonu, o parametre için düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicidir (UMVUE). Poisson dağılımında örneklem toplamı tam ve yeterlidir ve bu toplamın örneklem hacmine bölünmesiyle elde edilen örneklem ortalaması λ\lambda için yansızdır. Dolayısıyla örneklem ortalaması UMVUE'dir.

Step-by-Step Solution

1
Yeterli ve tam istatistiği belirleyin.
T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i istatistiği tam ve yeterlidir.
Soruda bu bilginin verildiği belirtilmiştir ve Poisson dağılımı üstel aileye ait olduğu için bu istatistik bu özellikleri sağlar.
2
Parametre için yansız bir tahmin edici bulun.
E[Xˉ]=λE[\bar{X}] = \lambda olduğu için Xˉ=Tn\bar{X} = \frac{T}{n} yansızdır.
Bir tahmin edicinin UMVUE olabilmesi için öncelikle yansız (unbiased) olması gerekir.
3
Lehmann-Scheffe teoremini uygulayın.
Xˉ=1nT\bar{X} = \frac{1}{n} T fonksiyonu UMVUE'dir.
Teoreme göre, tam ve yeterli bir istatistiğin yansız herhangi bir fonksiyonu, o parametre için düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicidir.

Key Concept

Lehmann-Scheffe Teoremi: Tam ve yeterli bir istatistiğin fonksiyonu olan yansız tahmin edici, benzersiz bir şekilde UMVUE'dir.

Hints

1
Lehmann-Scheffe teoremi, yansızlık ile yeterli ve tam istatistik olma özelliklerini birleştirir.
2
Seçenekler arasında hangisinin beklenen değerinin tam olarak λ\lambda parametresine eşit olduğunu kontrol edin.

Practice More

Varyans parametresi σ2\sigma^2 için Normal dağılımda UMVUE'nin ne olacağını araştırabilirsiniz.
Estimated Time:45s
Rate this question

Topics

Tamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

More questions from this topic