Bir kitleden çekilen n çaplı X_1, X_2, \dots, X_n rastgele örnekleminin beklenen değeri E(… — KPSS İstatistik

Bir kitleden çekilen $n$ çaplı $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örnekleminin beklenen değeri $E(X_i) = \mu \neq 0$ ve varyansı $V(X_i) = \sigma^2$ 'dir. $\mu$ parametresinin tahmini için $\hat{\mu} = c\bar{X}$ (burada $\bar{X}$ örneklem ortalamasıdır) şeklinde bir tahmin edici önerilmiştir.

Buna göre, bu tahmin edicinin hata kareler ortalamasını (MSE) en küçük yapan $c$ sabiti aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{n\mu^2}{n\mu^2 + \sigma^2}$ Answer
B
$\frac{\mu^2}{\mu^2 + \sigma^2}$
C
$\frac{n}{n + \sigma^2}$
D
$\frac{n\mu^2}{n\mu^2 - \sigma^2}$
E
$\frac{n\mu}{2\sigma^2}$

Answer

Doğru

c

değeri

\frac{n\mu^2}{n\mu^2 + \sigma^2}

ifadesine eşittir.

Hata Kareler Ortalaması (MSE), bir tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının (bias) karesinin toplamıdır.

\hat{\mu} = c\bar{X}

tahmin edicisinin varyansı

c^2\frac{\sigma^2}{n}

ve yan miktarı

c\mu - \mu = \mu(c-1)

şeklindedir. Bunları MSE denkleminde yerine koyduğumuzda

MSE = c^2\frac{\sigma^2}{n} + \mu^2(c-1)^2

fonksiyonunu elde ederiz. Bu ifadeyi minimum yapan

c

değerini bulmak için fonksiyonun

c

'ye göre birinci türevini alır ve sıfıra eşitleriz:

2c\frac{\sigma^2}{n} + 2\mu^2(c-1) = 0

. Bu denklem çözüldüğünde

c

sabiti

\frac{n\mu^2}{n\mu^2 + \sigma^2}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

Tahmin edicinin beklenen değerini ve varyansını hesapla.

E(\hat{\mu}) = E(c\bar{X}) = c\mu

V(\hat{\mu}) = V(c\bar{X}) = c^2\frac{\sigma^2}{n}

olarak bulunur.

MSE hesaplamasında tahmin edicinin varyansı ve kitle parametresinden olan sapması (yanlılığı) gereklidir.

Tahmin edicinin yan miktarını (bias) bul.

Bias(\hat{\mu}) = E(\hat{\mu}) - \mu = c\mu - \mu = \mu(c-1)

Yanlı bir tahmin edici olduğu için MSE, varyans ile yan miktarının karesinin toplamı olacaktır.

Hata Kareler Ortalaması (MSE) fonksiyonunu

c

sabitine bağlı olarak yaz.

MSE(\hat{\mu}) = V(\hat{\mu}) + [Bias(\hat{\mu})]^2 = c^2\frac{\sigma^2}{n} + \mu^2(c-1)^2

Minimum noktayı bulabilmek için fonksiyonun açık halinin yazılması gerekir.

MSE fonksiyonunun

c

'ye göre türevini alıp sıfıra eşitle.

\frac{d}{dc}MSE = 2c\frac{\sigma^2}{n} + 2\mu^2(c-1) = 0 \implies c\frac{\sigma^2}{n} + c\mu^2 = \mu^2 \implies c = \frac{n\mu^2}{n\mu^2 + \sigma^2}

Bir fonksiyonun yerel minimum noktasını bulmak için birinci türevi sıfıra eşitlenmelidir.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE) Optimizasyonu

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic