Bir kitleye ait rastgele çekilen birbirinden bağımsız X_1 ve X_2 gözlem değerlerinin bekle… — KPSS İstatistik

Bir kitleye ait rastgele çekilen birbirinden bağımsız $X_1$ ve $X_2$ gözlem değerlerinin beklenen değeri $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ 'dir. $\mu$ parametresini tahmin etmek amacıyla,

\hat{\mu} = \frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{2}X_2

tahmin edicisi öneriliyor.

Buna göre, $\hat{\mu}$ tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{13\sigma^2 + \mu^2}{36}$ Answer
B
$\frac{13\sigma^2}{36}$
C
$\frac{13\sigma^2 + 25\mu^2}{36}$
D
$\frac{30\sigma^2 + \mu^2}{36}$
E
$\frac{13\sigma^2 - \mu^2}{36}$

Answer

Tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması (MSE), varyansı ile yan miktarının karesinin toplamı olan

\frac{13\sigma^2 + \mu^2}{36}

ifadesine eşittir.

Hata Kareler Ortalaması (MSE), tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının (bias) karesinin toplamına eşittir:

MSE(\hat{\theta}) = Var(\hat{\theta}) + [Bias(\hat{\theta})]^2

. Verilen

\hat{\mu}

tahmin edicisi için öncelikle beklenen değer hesaplanır:

E(\hat{\mu}) = \frac{1}{3}\mu + \frac{1}{2}\mu = \frac{5}{6}\mu

. Yan miktarı:

Bias(\hat{\mu}) = E(\hat{\mu}) - \mu = -\frac{1}{6}\mu

olup karesi

\frac{\mu^2}{36}

'dır. Varyans ise bağımsızlık özelliğinden:

Var(\hat{\mu}) = (\frac{1}{3})^2\sigma^2 + (\frac{1}{2})^2\sigma^2 = \frac{13\sigma^2}{36}

olarak bulunur. Bu iki değerin toplamı

\frac{13\sigma^2 + \mu^2}{36}

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

MSE formülünün hatırlanması.

MSE(\hat{\mu}) = Var(\hat{\mu}) + [Bias(\hat{\mu})]^2

Bir tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması, varyansı ile yansızlık miktarından sapmasının (yan) karesinin toplamından oluşur.

Tahmin edicinin beklenen değerinin (E) ve yan miktarının (Bias) hesaplanması.

E(\hat{\mu}) = E(\frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{2}X_2) = \frac{1}{3}\mu + \frac{1}{2}\mu = \frac{5}{6}\mu

elde edilir. Buradan yan miktarı:

Bias = E(\hat{\mu}) - \mu = \frac{5}{6}\mu - \mu = -\frac{1}{6}\mu

olur.

MSE formülündeki yan (bias) bileşenini bulmak için öncelikle tahmin edicinin beklenen değeri kitle parametresiyle karşılaştırılmalıdır.

Tahmin edicinin varyansının hesaplanması.

X_1

X_2

bağımsız olduğundan,

Var(\hat{\mu}) = (\frac{1}{3})^2Var(X_1) + (\frac{1}{2})^2Var(X_2) = \frac{1}{9}\sigma^2 + \frac{1}{4}\sigma^2 = \frac{13\sigma^2}{36}

bulunur.

Bağımsız rastgele değişkenlerin doğrusal kombinasyonunun varyansı hesaplanırken katsayıların karesi alınarak toplanır.

Bulunan değerlerin MSE formülünde yerine konulması.

MSE(\hat{\mu}) = \frac{13\sigma^2}{36} + (-\frac{1}{6}\mu)^2 = \frac{13\sigma^2}{36} + \frac{\mu^2}{36} = \frac{13\sigma^2 + \mu^2}{36}

Varyans ve yan miktarının karesi toplanarak nihai hata kareler ortalamasına ulaşılır.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE)

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic