Bir eğitim araştırma enstitüsü, ülke genelinde faaliyet gösteren N = 400 adet özel okulun … — KPSS İstatistik

Bir eğitim araştırma enstitüsü, ülke genelinde faaliyet gösteren $N = 400$ adet özel okulun yıllık teknoloji harcamaları toplamını ( $y$ ) tahmin etmek istemektedir. Enstitü, basit rastgele örnekleme yöntemiyle iadesiz olarak $n = 80$ okuldan oluşan bir örneklem seçmiştir.

Yapılan ön çalışmalarda, okulların teknoloji harcamalarına ait kitle varyansının $S_y^2 = 5000$ olduğu ve okulların öğrenci sayısı ( $x$ ) ile teknoloji harcamaları ( $y$ ) arasındaki korelasyon katsayısının $\rho = 0,50$ olduğu belirlenmiştir.

(Örneklem hacminin yeterince büyük olduğu ve büyük örneklem varyans formüllerinin geçerli olduğu varsayılmaktadır.)

Buna göre, öğrenci sayısı yardımcı değişken olarak kullanıldığında elde edilecek regresyon tahminleyicisi ile kitle toplamı tahmininin varyansı ( $V(\hat{Y}_{reg})$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

A
$1,5 \times 10^4$
B
$4 \times 10^6$
$6 \times 10^6$ Answer
D
$7,5 \times 10^6$
E
$8 \times 10^6$

Answer

Regresyon tahminleyicisi ile kitle toplamının varyansı

6 \times 10^6

olarak bulunur.

Regresyon tahminleyicisinin toplam varyans formülü

V(\hat{Y}_{reg}) = N^2 \cdot \frac{1-f}{n} S_y^2 (1 - \rho^2)

şeklindedir. İadesiz örnekleme yapıldığı için

1-f = 0,8

çarpanı kullanılmış, korelasyon katsayısı

\rho = 0,5

yerine konarak

(1-0,5^2) = 0,75

indirgeme faktörü elde edilmiştir. Ortalama varyansı (

50 \times 0,75 = 37,5

) bulunduktan sonra, soruda 'kitle toplamının' varyansı sorulduğu için değer

N^2 = 160.000

ile çarpılmış ve sonuç

6 \times 10^6

olarak bulunmuştur.

Step-by-Step Solution

Örnekleme kesrini (

f

) ve Sonlu Kitle Düzeltme (SKD) çarpanını hesaplayın.

f = \frac{n}{N} = \frac{80}{400} = 0,2

bulunur. İadesiz seçim olduğu için SKD çarpanı

1 - f = 1 - 0,2 = 0,8

olur.

Varyans hesabında kitle sonlu ve örneklem iadesiz seçildiği için

(1-f)

düzeltmesi yapılmalıdır.

Basit Rastgele Örnekleme (BRO) için kitle ortalamasının varyansını hesaplayın.

V(\bar{y}_{BRO}) = \frac{1-f}{n} S_y^2 = \frac{0,8}{80} \times 5000 = 0,01 \times 5000 = 50

Regresyon tahminleyicisinin varyansı, BRO ortalama varyansının

(1-\rho^2)

katına eşittir. Önce temel BRO varyansı bulunmalıdır.

Korelasyon katsayısını kullanarak regresyon tahminleyicisine ait ortalama varyansını bulun.

V(\bar{y}_{reg}) = V(\bar{y}_{BRO}) \times (1 - \rho^2) = 50 \times (1 - 0,5^2) = 50 \times (1 - 0,25) = 50 \times 0,75 = 37,5

Öğrenci sayısı (

x

) ile harcama (

y

) arasındaki ilişki, tahmin varyansını

(1-\rho^2)

oranında daraltır.

Ortalama varyansından kitle toplamı varyansına geçiş yapın.

V(\hat{Y}_{reg}) = N^2 \times V(\bar{y}_{reg}) = 400^2 \times 37,5 = 160.000 \times 37,5 = 6.000.000 = 6 \times 10^6

Kitle toplamı

\hat{Y} = N \times \bar{y}

olduğundan, varyansı ortalama varyansının

N^2

katıdır.

Key Concept

Regresyon Tahminleyicisinin Varyansı ve Toplam Tahmini

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics