Examkin

Question

Difficulty: MediumRegresyon Tahminleyicisinin Varyansı ve Etkinliği

Bir sanayi bölgesindeki fabrikaların yıllık üretim miktarları (yy) ile elektrik tüketimleri (xx) arasındaki ilişkiyi inceleyen bir araştırmacı, N=1000N = 1000 birimlik bir kitleden iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle n=100n = 100 birimlik bir örneklem seçmiştir. Kitledeki üretim miktarlarına ait varyans Sy2=500S_y^2 = 500 ve iki değişken arasındaki korelasyon katsayısı ρ=0,60\rho = 0,60 olarak belirlenmiştir. Bu verilere göre, kitle ortalamasının tahmini için kullanılan regresyon tahminleyicisinin yaklaşık varyansı (V(yˉreg)V(\bar{y}_{reg})) kaçtır?

  1. A
    4,50
  2. B
    3,20
  3. 2,88Answer
  4. D
    1,62
  5. E
    1,80

Answer

Regresyon tahminleyicisinin yaklaşık varyansı 2,882,88 olarak hesaplanır.
Regresyon tahminleyicisinin varyansı, basit rastgele örneklemede ortalamanın varyansının yardımcı değişken ile olan korelasyonun karesine bağlı olarak azaldığı formül olan V(yˉreg)≈1−fnSy2(1−ρ2)V(\bar{y}_{reg}) \approx \frac{1-f}{n} S_y^2 (1 - \rho^2) ile bulunur. Verilen değerler yerine konduğunda 0,9100×500×0,64=2,88\frac{0,9}{100} \times 500 \times 0,64 = 2,88 sonucuna ulaşılmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Örnekleme oranının (ff) ve sonlu kitle düzeltme çarpanının (1−f1-f) belirlenmesi
f=nN=1001000=0,10f = \frac{n}{N} = \frac{100}{1000} = 0,10 ve 1−f=1−0,10=0,901-f = 1 - 0,10 = 0,90
İadesiz basit rastgele örneklemede varyans hesaplanırken kitle büyüklüğü sonlu olduğu için düzeltme çarpanı kullanılmalıdır.
2
Regresyon tahminleyicisinin varyans formülünün yazılması
V(yˉreg)≈1−fnSy2(1−ρ2)V(\bar{y}_{reg}) \approx \frac{1-f}{n} S_y^2 (1 - \rho^2)
Regresyon tahminleyicisi, yardımcı değişkenle olan korelasyonu kullanarak varyansı (1−ρ2)(1-\rho^2) oranında düşürür.
3
Verilen değerlerin formülde yerine konulması
V(yˉreg)≈0,90100×500×(1−0,602)V(\bar{y}_{reg}) \approx \frac{0,90}{100} \times 500 \times (1 - 0,60^2)
Varyans ve korelasyon katsayısı değerleri analitik hesaplama için gereklidir.
4
Matematiksel işlemin sonuçlandırılması
V(yˉreg)≈0,009×500×(1−0,36)=4,5×0,64=2,88V(\bar{y}_{reg}) \approx 0,009 \times 500 \times (1 - 0,36) = 4,5 \times 0,64 = 2,88
Basit aritmetik işlemlerle nihai varyans değerine ulaşılır.

Key Concept

Regresyon tahminleyicisinin varyansı, basit rastgele örnekleme varyansının (1−ρ2)(1-\rho^2) katıdır ve korelasyon arttıkça etkinlik artar.

Practice More

Regresyon tahminleyicisinin, oran tahminleyicisine göre hangi durumlarda daha etkin olduğunu tartışınız.

Alternative Method

Önce basit rastgele örnekleme varyansı V(yˉ)=0,9×500100=4,5V(\bar{y}) = \frac{0,9 \times 500}{100} = 4,5 bulunur. Ardından bu değer, regresyonun sağladığı avantaj olan (1−ρ2)(1-\rho^2) ile çarpılır: 4,5×(1−0,36)=4,5×0,64=2,884,5 \times (1-0,36) = 4,5 \times 0,64 = 2,88.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Regresyon Tahminleyicisinin Varyansı ve Etkinliği