Examkin

Question

Difficulty: HardDurumların Sınıflandırılması ve Sınır (Kararlı Durum) Olasılıkları

Bir üretim tesisinde kullanılan hassas bir makinenin günlük çalışma durumu, S={1,2,3,4}S = \{1, 2, 3, 4\} durum uzayında tanımlı homojen bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Durumlar sırasıyla; 1: Kurulum, 2: Düşük Kapasite, 3: Tam Kapasite, 4: Bakım olarak belirlenmiştir.

Makinenin günlük durum geçiş olasılık matrisi PP aşağıdaki gibi verilmiştir:

P=[0.10.40.30.20.00.40.60.00.00.30.20.50.00.00.80.2] P = \begin{bmatrix} 0.1 & 0.4 & 0.3 & 0.2 \\ 0.0 & 0.4 & 0.6 & 0.0 \\ 0.0 & 0.3 & 0.2 & 0.5 \\ 0.0 & 0.0 & 0.8 & 0.2 \end{bmatrix}

Bu Markov zincirinin durumları sınıflandırıldığında ve sistemin uzun dönem davranışı incelendiğinde, makinenin kararlı durumda (sınır olasılıklarında) 'Tam Kapasite' (3 numaralı durum) çalışma olasılığı (π3\pi_3) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    417\frac{4}{17}
  2. B
    13\frac{1}{3}
  3. 817\frac{8}{17}Answer
  4. D
    517\frac{5}{17}
  5. E
    89\frac{8}{9}

Answer

Makinenin kararlı durumda 'Tam Kapasite' (3 numaralı durum) çalışma olasılığı 817\frac{8}{17}'dir.
Verilen Markov zincirinde 1 numaralı durum geçicidir (transient), çünkü diğer durumlardan bu duruma geçiş söz konusu değildir (P21=P31=P41=0P_{21}=P_{31}=P_{41}=0). Bu nedenle sınır olasılığı π1=0\pi_1 = 0'dır. Sistem uzun dönemde sadece {2, 3, 4} durumlarından oluşan kapalı, indirgenemez ve öz yineli (irreducible recurrent) sınıf içinde kalır. Bu sınıf için πP=π\pi P = \pi sol özvektör denklemleri çözüldüğünde π2=12π3\pi_2 = \frac{1}{2}\pi_3 ve π4=58π3\pi_4 = \frac{5}{8}\pi_3 eşitlikleri elde edilir. Tüm olasılıkların toplamı 1'e eşitlenmek zorundadır (normalizasyon şartı). π2+π3+π4=1\pi_2 + \pi_3 + \pi_4 = 1 denkleminde değerler yerine konduğunda 178π3=1\frac{17}{8}\pi_3 = 1 denklemi ortaya çıkar ve aranan π3\pi_3 değeri 817\frac{8}{17} olarak doğru şekilde bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Markov zincirinin durumlarını sınıflandırarak geçici (transient) ve öz yineli (recurrent) durumları belirlemek.
1 numaralı duruma diğer durumlardan geri dönüş olasılığı sıfırdır (P21=P31=P41=0P_{21}=P_{31}=P_{41}=0). Bu nedenle 1 numaralı durum geçicidir (transient) ve kararlı durum olasılığı π1=0\pi_1 = 0 olur. Kalan {2, 3, 4} durumları kendi içinde iletişimde olan (irreducible) kapalı bir öz yineli sınıf oluşturur.
Kararlı durum olasılıkları, sadece kapalı ve öz yineli (recurrent) durum sınıfları içinde sıfırdan farklı değerler alır.
2
Öz yineli kapalı sınıf {2, 3, 4} için πP=π\pi P = \pi (sol özvektör) denklemlerini kurmak.
π2=0.4π2+0.3π3\pi_2 = 0.4\pi_2 + 0.3\pi_3
π3=0.6π2+0.2π3+0.8π4\pi_3 = 0.6\pi_2 + 0.2\pi_3 + 0.8\pi_4
π4=0.5π3+0.2π4\pi_4 = 0.5\pi_3 + 0.2\pi_4 denklemleri elde edilir.
Sınır olasılıkları vektörü π\pi, geçiş matrisinin satırlarıyla çarpıldığında kendisini vermelidir.
3
Denklem sistemini π3\pi_3 cinsinden ifade etmek.
Birinci denklemden: 0.6π2=0.3π3⇒π2=12π30.6\pi_2 = 0.3\pi_3 \Rightarrow \pi_2 = \frac{1}{2}\pi_3
Üçüncü denklemden: 0.8π4=0.5π3⇒π4=58π30.8\pi_4 = 0.5\pi_3 \Rightarrow \pi_4 = \frac{5}{8}\pi_3 bulunur.
Bilinmeyen sayısını tek değişkene düşürerek normalizasyon denkleminde çözüme gidebilmek.
4
Tüm olasılıkların toplamının 1 olması kuralını (∑πi=1\sum \pi_i = 1) uygulamak.
π2+π3+π4=1\pi_2 + \pi_3 + \pi_4 = 1 denklemine göre;
12π3+π3+58π3=1\frac{1}{2}\pi_3 + \pi_3 + \frac{5}{8}\pi_3 = 1 işlemi yapılır.
Bir sistemin uzun dönemde muhakkak öz yineli durumlardan birinde bulunması gerektiği için olasılıklar toplamı 1'e eşitlenmelidir.
5
Elde edilen denklemi çözerek π3\pi_3 değerine ulaşmak.
Ortak paydada (8) toplandığında:
48π3+88π3+58π3=1⇒178π3=1⇒π3=817\frac{4}{8}\pi_3 + \frac{8}{8}\pi_3 + \frac{5}{8}\pi_3 = 1 \Rightarrow \frac{17}{8}\pi_3 = 1 \Rightarrow \pi_3 = \frac{8}{17} olarak hesaplanır.
Soruda hedeflenen 'Tam Kapasite' (3 numaralı durum) için sınır olasılık değeri nihai olarak bulunmuş olur.

Key Concept

Stokastik Süreçlerde Durumların Sınıflandırılması ve Sınır (Kararlı Durum) Olasılıkları
Rate this question

Topics

Durumların Sınıflandırılması ve Sınır (Kararlı Durum) Olasılıkları