Examkin

Question

Difficulty: EasyTamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

Bir halk kütüphanesine saatlik gelen ziyaretçi sayısı λ\lambda parametreli Poisson dağılımına uymaktadır. Bu kütüphaneden rastgele seçilen nn birimlik bir örneklem X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olduğuna göre, Lehmann-Scheffe Teoremi uyarınca λ\lambda parametresinin Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicisi (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Xˉ=1n∑i=1nXi\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_iAnswer
  2. B
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i
  3. C
    X_1
  4. D
    S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2
  5. E
    X1+Xn2\frac{X_1 + X_n}{2}

Answer

Poisson dağılımı için parametrenin yansız ve tam yeterli istatistiğe dayanan tahmin edicisi olan örneklem ortalaması UMVUE'dir.
Lehmann-Scheffe Teoremi'ne göre, eğer TT bir tam yeterli istatistik ise ve g(T)g(T) bu istatistiğin bir fonksiyonu olup parametre için yansızsa, o zaman g(T)g(T) benzersiz bir UMVUE'dir. Poisson dağılımında ∑Xi\sum X_i tam yeterli bir istatistiktir ve bunun nn'e bölümü olan örneklem ortalaması yansızdır.

Step-by-Step Solution

1
Poisson dağılımının olabilirlik fonksiyonunu yazarak yeterli istatistiği belirlemek.
L(λ)=e−nλλ∑Xi∏Xi!L(\lambda) = \frac{e^{-n\lambda} \lambda^{\sum X_i}}{\prod X_i!} olduğundan, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi'ne göre T=∑XiT = \sum X_i yeterli bir istatistiktir.
Yeterli istatistik, parametre hakkındaki tüm bilgiyi özetler.
2
Yeterli istatistiğin tamlığını (completeness) kontrol etmek.
Poisson dağılımı üstel aileye mensup olduğundan, T=∑XiT = \sum X_i istatistiği aynı zamanda tamdır.
Lehmann-Scheffe Teoremi'ni uygulamak için istatistiğin hem yeterli hem de tam olması gerekir.
3
Tam ve yeterli istatistiğin parametre için yansız bir fonksiyonunu bulmak.
E[∑Xi]=nλE[\sum X_i] = n\lambda olduğundan, E[∑Xin]=λE[\frac{\sum X_i}{n}] = \lambda olur. Yani Xˉ\bar{X}, TT'nin yansız bir fonksiyonudur.
Lehmann-Scheffe Teoremi'ne göre tam yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu benzersizdir ve UMVUE'dir.

Key Concept

Lehmann-Scheffe Teoremi ve Poisson Dağılımı için UMVUE

Practice More

Bernoulli ve Normal dağılımları için de örneklem ortalamasının neden UMVUE olduğunu inceleyebilirsiniz.
Estimated Time:45s
Rate this question

Topics

Tamlık, Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (En İyi Yansız Tahmin)

More questions from this topic