Examkin

Question

Difficulty: MediumBernoulli Dağılımı

Bir tarımsal araştırma projesinde, belirli bir genetik özelliğe sahip tohumların çimlenme durumu incelenmektedir. İnceleme sonucunda tohumun başarıyla çimlenmesi durumu X=1X=1, çimlenememesi durumu ise X=0X=0 değeri ile kodlanmıştır. Tohumun başarıyla çimlenme olasılığı p∈(0,1)p \in (0, 1) olarak bilinmektedir.

Buna göre, XX rastgele değişkeninin varyansı (Var(X)Var(X)) ve moment çıkaran fonksiyonu (MX(t)M_X(t)) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

  1. p(1−p)p(1-p) ve (1−p)+pet(1-p) + p e^tAnswer
  2. B
    p2p^2 ve (1−p)+pet(1-p) + p e^t
  3. C
    p(1+p)p(1+p) ve (1−p)+pet(1-p) + p e^t
  4. D
    p\sqrt{p} ve p+(1−p)etp + (1-p) e^t
  5. E
    p(1−p)p(1-p) ve p+(1−p)etp + (1-p) e^t

Answer

XX rastgele değişkeninin varyansı p(1−p)p(1-p) ve moment çıkaran fonksiyonu (1−p)+pet(1-p) + p e^t şeklindedir.
Verilen senaryoda tohumun çimlenme durumu 00 ve 11 değerlerini aldığından, XX rastgele değişkeni pp parametreli bir Bernoulli dağılımı gösterir. Bu dağılım için E[X]=pE[X]=p ve E[X2]=pE[X^2]=p'dir, bu sebeple varyans Var(X)=E[X2]−(E[X])2=p−p2=p(1−p)Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2=p-p^2=p(1-p) olur. Moment çıkaran fonksiyon ise E[etX]=p⋅et+(1−p)⋅e0=(1−p)+petE[e^{tX}] = p \cdot e^t + (1-p) \cdot e^0 = (1-p) + p e^t formülüyle ispatlanır. Doğru seçenek her iki özelliği de eksiksiz sunmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Dağılım türünü ve beklenen değerini belirleme
X∼Bernoulli(p)X \sim Bernoulli(p) dağılımına sahiptir. Beklenen değeri E[X]=1⋅p+0⋅(1−p)=pE[X] = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p olur.
Değişken yalnızca iki durum (00 ve 11) alabildiğinden indikatör değişkendir ve Bernoulli kurallarına uyar.
2
Varyansı hesaplama
Var(X)=p(1−p)Var(X) = p(1-p)
E[X2]=12⋅p+02⋅(1−p)=pE[X^2] = 1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1-p) = p'dir. Varyans formülü Var(X)=E[X2]−(E[X])2Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 kullanıldığında p−p2=p(1−p)p - p^2 = p(1-p) elde edilir.
3
Moment çıkaran fonksiyonu bulma
MX(t)=(1−p)+petM_X(t) = (1-p) + p e^t
MGF tanımı gereği MX(t)=E[etX]=∑xetxP(X=x)M_X(t) = E[e^{tX}] = \sum_{x} e^{tx} P(X=x) eşitliği ile e0(1−p)+etpe^{0}(1-p) + e^{t}p işlemi uygulanır.

Key Concept

Bernoulli dağılımının varyansı ve moment çıkaran fonksiyonunun (MGF) elde edilişi

Alternative Method

Bernoulli dağılımı aslında deneme sayısının n=1n=1 olduğu Binom dağılımıdır. Binom dağılımının genel MGF formülü (1−p+pet)n(1-p + p e^t)^n olduğundan, n=1n=1 yazılarak doğrudan moment çıkaran fonksiyon bulunabilir. Varyans için de Binom varyansı olan np(1−p)np(1-p) formülünde n=1n=1 konularak sonuca ulaşılır.
Estimated Time:1m 0s
Rate this question

Topics

Bernoulli Dağılımı

More questions from this topic