X_1, X_2, \dots, X_n bağımsız ve aynı dağılımlı, başarı olasılığı p olan Bernoulli dağılım… — KPSS İstatistik

$X_1, X_2, \dots, X_n$ bağımsız ve aynı dağılımlı, başarı olasılığı $p$ olan Bernoulli dağılımından çekilmiş bir rastgele örneklem olsun. $p$ parametresini tahmin etmek amacıyla, örneklem değerlerinin toplamı $Y = \sum_{i=1}^n X_i$ olmak üzere $\hat{p} = \frac{Y}{n+1}$ tahmin edicisi öneriliyor.

Buna göre, $\hat{p}$ tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{np(1-p) + p^2}{(n+1)^2}$ Answer
B
$\frac{np(1-p)}{(n+1)^2}$
C
$\frac{p^2}{(n+1)^2}$
D
$\frac{p(1-p)}{n} + \frac{p^2}{(n+1)^2}$
E
$\frac{np(1-p) - p^2}{(n+1)^2}$

Answer

Tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması, varyansı ile yan miktarının karesinin toplamı olan

\frac{np(1-p) + p^2}{(n+1)^2}

ifadesidir.

MSE hesaplaması için tahmin edicinin varyansı ve yan miktarının bilinmesi gerekir.

Y \sim Binom(n, p)

olduğundan,

E(Y)=np

Var(Y)=np(1-p)

'dir. Tahmin edici

\hat{p} = \frac{Y}{n+1}

olduğu için, beklenen değeri

E(\hat{p}) = \frac{np}{n+1}

olur. Yan miktarı (Bias)

= \frac{np}{n+1} - p = \frac{-p}{n+1}

olarak bulunur. Tahmin edicinin varyansı ise

Var(\hat{p}) = \frac{np(1-p)}{(n+1)^2}

şeklindedir. MSE = Varyans + (Yan)

^2

formülü uygulandığında,

\frac{np(1-p)}{(n+1)^2} + \left(\frac{-p}{n+1}\right)^2 = \frac{np(1-p) + p^2}{(n+1)^2}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

Tahmin edicinin beklenen değerini hesapla.

E(\hat{p}) = E\left(\frac{Y}{n+1}\right) = \frac{E(Y)}{n+1} = \frac{np}{n+1}

Yan miktarını (bias) bulabilmek için öncelikle tahmin edicinin beklenen değerini bulmalıyız.

Y

n

adet Bernoulli değişkeninin toplamı olduğundan

Binom(n, p)

dağılır ve

E(Y) = np

'dir.

Tahmin edicinin yan miktarını (Bias) hesapla.

Yan(\hat{p}) = E(\hat{p}) - p = \frac{np}{n+1} - p = \frac{np - (np+p)}{n+1} = \frac{-p}{n+1}

Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile tahmin edilmek istenen gerçek parametre (

p

) arasındaki farktır.

Tahmin edicinin varyansını hesapla.

Var(\hat{p}) = Var\left(\frac{Y}{n+1}\right) = \frac{1}{(n+1)^2} Var(Y) = \frac{np(1-p)}{(n+1)^2}

MSE formülünün ikinci bileşeni varyanstır. Sabit bir sayının varyansı dışarı karesi alınarak çıkar ve

Binom(n, p)

için

Var(Y) = np(1-p)

'dir.

Hata Kareler Ortalaması (MSE) formülünü uygula.

MSE(\hat{p}) = Var(\hat{p}) + [Yan(\hat{p})]^2 = \frac{np(1-p)}{(n+1)^2} + \left(\frac{-p}{n+1}\right)^2 = \frac{np(1-p) + p^2}{(n+1)^2}

MSE, her zaman tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE), yanlı bir tahmin edici için

MSE(\hat{\theta}) = Var(\hat{\theta}) + [Bias(\hat{\theta})]^2

eşitliği kullanılarak bulunur.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic