Examkin

Question

Difficulty: MediumI. ve II. Tip Hatalar ile Anlamlılık Düzeyi

Bir XX rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x;θ)={e−(x−θ),x≥θ0,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} e^{-(x-\theta)}, & x \geq \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

H0:θ=0H_0 : \theta = 0 yokluk hipotezi, H1:θ=1H_1 : \theta = 1 alternatif hipotezine karşı tek bir XX gözlemi ile test edilecektir.

Belirlenen red bölgesi X>2X > 2 olduğuna göre, bu testin I. tip hata olasılığı (α\alpha) ve II. tip hata olasılığı (β\beta) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. e−2e^{-2} ve 1−e−11 - e^{-1}Answer
  2. B
    1−e−21 - e^{-2} ve 1−e−11 - e^{-1}
  3. C
    e−2e^{-2} ve e−1e^{-1}
  4. D
    1−e−21 - e^{-2} ve e−1e^{-1}
  5. E
    1−e−11 - e^{-1} ve e−2e^{-2}

Answer

I. tip hata olasılığı e−2e^{-2} ve II. tip hata olasılığı 1−e−11 - e^{-1}'dir.
I. tip hata (α\alpha), H0H_0 doğru iken H0H_0'ın reddedilmesi olasılığıdır. Bu nedenle α=P(X>2∣θ=0)=∫2∞e−xdx=e−2\alpha = P(X > 2 \mid \theta = 0) = \int_2^\infty e^{-x} dx = e^{-2} olarak bulunur. II. tip hata (β\beta), H1H_1 doğru iken H0H_0'ın reddedilememesi olasılığıdır. Bu olasılık β=P(X≤2∣θ=1)\beta = P(X \leq 2 \mid \theta = 1) ile ifade edilir. θ=1\theta=1 durumunda olasılık yoğunluk fonksiyonu sadece x≥1x \geq 1 için sıfırdan farklı olduğu için integral 11'den 22'ye kadar alınır: β=∫12e−(x−1)dx=[−e−(x−1)]12=1−e−1\beta = \int_1^2 e^{-(x-1)} dx = \left[-e^{-(x-1)}\right]_1^2 = 1 - e^{-1} sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
I. Tip Hata (α\alpha) tanımını yazmak ve integral sınırlarını belirlemek.
α=P(X>2∣θ=0)\alpha = P(X > 2 \mid \theta = 0)
I. tip hata, yokluk hipotezi (H0H_0) doğru iken test istatistiğinin red bölgesine düşmesi olasılığıdır.
2
Verilen yoğunluk fonksiyonunda θ=0\theta=0 koyarak α\alpha'yı hesaplamak.
α=∫2∞e−xdx=[−e−x]2∞=0−(−e−2)=e−2\alpha = \int_2^\infty e^{-x} dx = \left[-e^{-x}\right]_2^\infty = 0 - (-e^{-2}) = e^{-2}
θ=0\theta=0 olduğunda fonksiyon x≥0x \geq 0 için f(x)=e−xf(x)=e^{-x} olur ve red bölgesi X>2X>2'dir.
3
II. Tip Hata (β\beta) tanımını yazmak ve integral sınırlarını belirlemek.
β=P(X≤2∣θ=1)\beta = P(X \leq 2 \mid \theta = 1)
II. tip hata, alternatif hipotez (H1H_1) doğru iken test istatistiğinin kabul bölgesinde kalması olasılığıdır.
4
Verilen yoğunluk fonksiyonunda θ=1\theta=1 koyarak β\beta'yı hesaplamak.
β=∫12e−(x−1)dx=[−e−(x−1)]12=−e−1−(−e0)=1−e−1\beta = \int_1^2 e^{-(x-1)} dx = \left[-e^{-(x-1)}\right]_1^2 = -e^{-1} - (-e^0) = 1 - e^{-1}
θ=1\theta=1 olduğunda fonksiyon x≥1x \geq 1 için f(x)=e−(x−1)f(x)=e^{-(x-1)} olur. Bu nedenle kabul bölgesinin integrali alınırken alt sınır 11'den başlatılmalıdır.

Key Concept

I. ve II. Tip Hatalar ile Testin Gücü

Alternative Method

1−β1-\beta alanını hesaplayıp (Testin Gücü), bulduğunuz sonucu 11'den çıkartarak da β\beta değerine ulaşabilirsiniz. Testin gücü =P(X>2∣θ=1)=∫2∞e−(x−1)dx=e−1= P(X > 2 \mid \theta = 1) = \int_2^\infty e^{-(x-1)} dx = e^{-1} olacağından, β=1−e−1\beta = 1 - e^{-1} elde edilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

I. ve II. Tip Hatalar ile Anlamlılık Düzeyi

More questions from this topic