Examkin

Question

Difficulty: MediumAsimptotik Yansızlık

Bir elektronik sensör üretim hattında üretilen sensörlerin çalışma ömrü (yıl cinsinden), x≥θx \ge \theta olmak üzere f(x;θ)=e−(x−θ)f(x; \theta) = e^{-(x-\theta)} olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip kaydırılmış üstel (shifted exponential) dağılım ile modellenmektedir. Kalite kontrol mühendisi, rastgele seçilen nn adet sensörün çalışma ömürlerini X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olarak gözlemlemiş ve sistemin minimum garanti süresi olan bilinmeyen θ\theta (θ>0\theta > 0) parametresini tahmin etmek için Tn=min⁡(X1,X2,…,Xn)T_n = \min(X_1, X_2, \dots, X_n) tahmin edicisini önermiştir.

Buna göre, TnT_n tahmin edicisinin yansızlık ve asimptotik yansızlık özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. TnT_n tahmin edicisinin yan miktarı 1n\frac{1}{n}'dir; dolayısıyla yanlı bir tahmin edicidir ancak asimptotik olarak yansızdır.Answer
  2. B
    TnT_n her örneklem çapı için yansız bir tahmin edicidir, çünkü parametreye olasılıkta yakınsayan tutarlı her tahmin edici aynı zamanda yansız olmak zorundadır.
  3. C
    TnT_n tahmin edicisinin beklenen değeri θ+1\theta + 1 olduğundan, bu tahmin edici hem küçük örneklemlerde hem de asimptotik olarak yanlıdır.
  4. D
    TnT_n asimptotik olarak yansızdır; ancak yanlı olduğu için Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesaplanamaz ve varyansa eşitlenemez.
  5. E
    TnT_n tahmin edicisi yanlıdır ve yan miktarı örneklem çapından bağımsız olarak sabit kaldığı için asimptotik yansızlık şartını sağlamaz.

Answer

Tahmin edicinin yan miktarı 1n\frac{1}{n}'dir; bu nedenle yanlı bir tahmin edicidir ancak asimptotik olarak yansızdır.
Verilen dağılım modelinde minimum sıra istatistiğinin olasılık yoğunluk fonksiyonu fTn(x)=ne−n(x−θ)f_{T_n}(x) = n e^{-n(x-\theta)} şeklindedir. Bu ifadenin xx ile çarpılarak integrali alındığında beklenen değer E(Tn)=θ+1nE(T_n) = \theta + \frac{1}{n} olarak bulunur. Parametre θ\theta'dan farkı olan yan miktarı 1n\frac{1}{n} olduğu için tahmin edici yanlıdır. Ancak örneklem hacmi büyüdükçe (n→∞n \to \infty), limit lim⁡n→∞1n=0\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 değerine eşittir. Bu matematiksel gerçek, tahmin edicinin asimptotik olarak yansız olduğunu kanıtlar.

Step-by-Step Solution

1
Tek bir gözlem için birikimli dağılım fonksiyonundan hareketle aşma olasılığını hesaplayın.
P(X>x)=∫x∞e−(t−θ)dt=e−(x−θ)P(X > x) = \int_{x}^{\infty} e^{-(t-\theta)} dt = e^{-(x-\theta)}
Minimum sıra istatistiğinin (T_n) dağılımını bulabilmek için tüm X_i'lerin x'ten büyük olma olasılığını belirlemek gerekir.
2
Bağımsızlık varsayımı ile Tn=min⁡(X1,…,Xn)T_n = \min(X_1, \dots, X_n) tahmin edicisinin dağılımını türetin.
P(Tn>x)=[P(X>x)]n=e−n(x−θ)P(T_n > x) = [P(X > x)]^n = e^{-n(x-\theta)}, dolayısıyla olasılık yoğunluk fonksiyonu fTn(x)=ne−n(x−θ)f_{T_n}(x) = n e^{-n(x-\theta)} olur (x≥θx \ge \theta).
TnT_n'nin beklenen değerini (E(T_n)) bulabilmek için kendi özel dağılım fonksiyonunun formülüne ihtiyaç vardır.
3
TnT_n'nin beklenen değerini integral yardımıyla hesaplayın.
E(Tn)=∫θ∞x⋅ne−n(x−θ)dx=θ+1nE(T_n) = \int_{\theta}^{\infty} x \cdot n e^{-n(x-\theta)} dx = \theta + \frac{1}{n}
Yansızlık durumunu test edebilmek için tahmin edicinin kitlenin üzerinden beklenen değeri (ortalaması) bulunmalıdır.
4
Tahmin edicinin yan miktarını (Bias) hesaplayıp sonlu örneklemler için yansızlık durumunu kontrol edin.
Yan(Tn)=E(Tn)−θ=(θ+1n)−θ=1nYan(T_n) = E(T_n) - \theta = (\theta + \frac{1}{n}) - \theta = \frac{1}{n}. Sıfırdan farklı olduğu için TnT_n yanlıdır.
Yan miktarının sıfıra eşit olmaması, tahmin edicinin yansızlık özelliğini taşımadığını matematiksel olarak kanıtlar.
5
Yan miktarının n→∞n \to \infty için limitini alarak asimptotik yansızlığı değerlendirin.
lim⁡n→∞1n=0\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 olduğu için TnT_n asimptotik olarak yansızdır.
Asimptotik yansızlık tanımı gereği, örneklem çapı sonsuza giderken yan miktarının sıfıra yakınsaması koşulu sağlanır.

Key Concept

Kaydırılmış üstel dağılımda minimum sıra istatistiğinin özellikleri ve asimptotik yansızlık
Rate this question

Topics

Asimptotik Yansızlık

More questions from this topic