Examkin

Question

Difficulty: HardBağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)

Bir sistemin işlem süresi, birbirinden bağımsız çalışan iki farklı alt bileşenin sürelerinin toplamından oluşmaktadır.

Birinci bileşenin işlem süresi olan XX rastgele değişkeni, (0,2)(0, 2) aralığında sürekli düzgün (üniform) dağılıma sahiptir. İkinci bileşenin işlem süresi olan YY rastgele değişkeni ise ortalaması 11 olan üstel dağılıma sahiptir.

Bu iki bileşenin toplam işlem süresi Z=X+YZ = X + Y rastgele değişkeni ile modellendiğine göre, z>2z > 2 durumu için ZZ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu (fZ(z)f_Z(z)) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    12(1−e−z)\frac{1}{2} (1 - e^{-z})
  2. B
    12e−z\frac{1}{2} e^{-z}
  3. 12e−z(e2−1)\frac{1}{2} e^{-z} (e^2 - 1)Answer
  4. D
    12\frac{1}{2}
  5. E
    14e−z(e2−1)\frac{1}{4} e^{-z} (e^2 - 1)

Answer

12e−z(e2−1)\frac{1}{2} e^{-z} (e^2 - 1) ifadesidir.
İki bağımsız sürekli rastgele değişkenin toplamının olasılık yoğunluk fonksiyonu konvolüsyon integrali fZ(z)=∫fX(x)fY(z−x)dxf_Z(z) = \int f_X(x) f_Y(z-x) dx ile bulunur. z>2z > 2 durumu için integral sınırları, XX'in tanımlı olduğu (0,2)(0, 2) aralığının tamamını kapsar. İntegral ∫0212e−(z−x)dx\int_{0}^{2} \frac{1}{2} e^{-(z-x)} dx biçiminde hesaplandığında sonuç doğru seçenek olan ifadeyi verir.

Step-by-Step Solution

1
Rastgele değişkenlerin olasılık yoğunluk fonksiyonlarını (PDF) belirleme
fX(x)=12f_X(x) = \frac{1}{2} (0<x<20 < x < 2 için) ve fY(y)=e−yf_Y(y) = e^{-y} (y>0y > 0 için)
Sürekli düzgün dağılım ve ortalaması 11 olan üstel dağılımın tanımı gereğidir.
2
Bağımsız değişkenlerin toplamı için konvolüsyon (evrişim) integralini kurma
fZ(z)=∫−∞∞fX(x)fY(z−x)dxf_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) dx
İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının dağılımı konvolüsyon integrali formülü ile bulunur.
3
İntegral sınırlarını z>2z > 2 durumuna göre analiz etme
fX(x)f_X(x) fonksiyonu 0<x<20 < x < 2 aralığında, fY(z−x)f_Y(z-x) ise z−x>0z-x > 0 yani x<zx < z aralığında tanımlıdır. z>2z > 2 olduğunda, iki koşulun kesişimi x'in sınırlarını 00'dan 22'ye kadar belirler.
Her iki olasılık yoğunluk fonksiyonunun sıfırdan farklı değer aldığı ortak bölgede integral alınmalıdır.
4
İntegrali çözme ve sadeleştirme
fZ(z)=∫0212e−(z−x)dx=12e−z∫02exdx=12e−z[ex]02=12e−z(e2−1)f_Z(z) = \int_{0}^{2} \frac{1}{2} e^{-(z-x)} dx = \frac{1}{2} e^{-z} \int_{0}^{2} e^x dx = \frac{1}{2} e^{-z} [e^x]_0^2 = \frac{1}{2} e^{-z} (e^2 - 1)
Belirli integral sınırlarında üstel fonksiyonun anti-türevi hesaplanarak nihai fonksiyon elde edilir.

Key Concept

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının konvolüsyon (evrişim) integrali ile olasılık yoğunluk fonksiyonunun bulunması

Alternative Method

Problemi çözmek için değişken dönüştürme (Jakobiyen) yöntemi de kullanılabilir. Ortak dağılım fX,Y(x,y)=12e−yf_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{2} e^{-y} yazılarak z=x+yz = x + y ve u=xu = x dönüşümü yapılır. z>2z > 2 aralığı için uu değişkeninin sınırları 00'dan 22'ye kadar entegre edilerek ZZ'nin marjinal fonksiyonu elde edilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Bağımsız Değişkenlerin Toplamı ve Konvolüsyon (Evrişim)