Examkin

Question

Difficulty: MediumHata Kareler Ortalaması (MSE)

Bilinmeyen bir θ\theta parametresini tahmin etmek amacıyla, varyansı V(U)=2θ2nV(U) = \frac{2\theta^2}{n} olan yansız bir UU istatistiği elde edilmiştir. Bu tahmin edici üzerinde küçültme (shrinkage) yaklaşımı uygulayan bir analist, yeni tahmin ediciyi θ^=nn+1U\hat{\theta} = \frac{n}{n+1} U biçiminde önermiştir.

Buna göre, analistin önerdiği θ^\hat{\theta} tahmin edicisinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    2nθ2(n+1)2\frac{2n\theta^2}{(n+1)^2}
  2. B
    (2n−1)θ2(n+1)2\frac{(2n-1)\theta^2}{(n+1)^2}
  3. (2n+1)θ2(n+1)2\frac{(2n+1)\theta^2}{(n+1)^2}Answer
  4. D
    (2n+3)θ2(n+1)2\frac{(2n+3)\theta^2}{(n+1)^2}
  5. E
    n(n+2)θ2(n+1)2\frac{n(n+2)\theta^2}{(n+1)^2}

Answer

Analistin önerdiği tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) (2n+1)θ2(n+1)2\frac{(2n+1)\theta^2}{(n+1)^2} ifadesidir.
Verilen UU istatistiği yansız olduğundan E(U)=θE(U) = \theta'dır. Yeni tahmin edici θ^=nn+1U\hat{\theta} = \frac{n}{n+1} U olarak tanımlandığına göre beklenen değeri E(θ^)=nn+1θE(\hat{\theta}) = \frac{n}{n+1}\theta olur. Yan miktarı (bias) E(θ^)−θ=−θn+1E(\hat{\theta}) - \theta = -\frac{\theta}{n+1} olup karesi θ2(n+1)2\frac{\theta^2}{(n+1)^2} şeklindedir. Tahmin edicinin varyansı ise V(nn+1U)=(nn+1)22θ2n=2nθ2(n+1)2V\left(\frac{n}{n+1}U\right) = \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 \frac{2\theta^2}{n} = \frac{2n\theta^2}{(n+1)^2} şeklinde bulunur. Varyans ve yan karesinin toplamı Hata Kareler Ortalamasını (MSE) verir: 2nθ2(n+1)2+θ2(n+1)2=(2n+1)θ2(n+1)2\frac{2n\theta^2}{(n+1)^2} + \frac{\theta^2}{(n+1)^2} = \frac{(2n+1)\theta^2}{(n+1)^2} formülü doğru sonuca ulaştırır.

Step-by-Step Solution

1
MSE formülünü yazmak.
MSE(θ^)=V(θ^)+[Bias(θ^)]2MSE(\hat{\theta}) = V(\hat{\theta}) + [Bias(\hat{\theta})]^2
Hata Kareler Ortalaması, tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.
2
Yeni tahmin edicinin beklenen değerini ve yan (bias) miktarını hesaplamak.
UU yansız olduğu için E(U)=θE(U) = \theta'dır. Buradan E(θ^)=nn+1E(U)=nn+1θE(\hat{\theta}) = \frac{n}{n+1}E(U) = \frac{n}{n+1}\theta olur. Yan miktarı ise Bias=E(θ^)−θ=nn+1θ−θ=−θn+1Bias = E(\hat{\theta}) - \theta = \frac{n}{n+1}\theta - \theta = -\frac{\theta}{n+1} olarak elde edilir.
Tahmin edicinin ne kadar yanlı olduğunu bulmak ve karesini almak için bu adıma ihtiyaç vardır.
3
Yeni tahmin edicinin varyansını hesaplamak.
V(θ^)=V(nn+1U)=(nn+1)2V(U)=n2(n+1)22θ2n=2nθ2(n+1)2V(\hat{\theta}) = V\left(\frac{n}{n+1}U\right) = \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 V(U) = \frac{n^2}{(n+1)^2} \frac{2\theta^2}{n} = \frac{2n\theta^2}{(n+1)^2}
Sabit bir sayıyla çarpılan değişkenin varyansı alınırken sabitin karesi ile çarpılması gerektiği kuralını uygulamak için.
4
Varyans ve yan karesini toplayarak MSE'yi bulmak.
MSE=2nθ2(n+1)2+(−θn+1)2=2nθ2(n+1)2+θ2(n+1)2=(2n+1)θ2(n+1)2MSE = \frac{2n\theta^2}{(n+1)^2} + \left(-\frac{\theta}{n+1}\right)^2 = \frac{2n\theta^2}{(n+1)^2} + \frac{\theta^2}{(n+1)^2} = \frac{(2n+1)\theta^2}{(n+1)^2}
MSE tanımı gereği nihai sonucu elde etmek için.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE)
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Hata Kareler Ortalaması (MSE)

More questions from this topic