Examkin

Question

Difficulty: MediumSaf Tamsayılı Programlama Modelleri

Bir kamu kütüphanesi, yeni açılacak okuma salonuna iki farklı tipte çalışma masası yerleştirmeyi planlamaktadır. A tipi bir masa (x1x_1) 5 öğrenci kapasiteli, B tipi bir masa (x2x_2) ise 8 öğrenci kapasitelidir. Salonun alan ve bütçe imkanları doğrultusunda oluşturulan kısıtlayıcı denklem 3x1+5x2≤163x_1 + 5x_2 \leq 16 olarak belirlenmiştir. Bu problemde masa sayılarının negatif olmayan tam sayılar olması gerektiği bilindiğine göre, toplam öğrenci kapasitesini maksimize eden saf tamsayılı programlama modelinin optimal amaç fonksiyonu değeri kaçtır?

  1. A
    24
  2. B
    25
  3. 26Answer
  4. D
    26,67
  5. E
    31

Answer

Optimum tamsayı çözümü sağlayan kapasite değeri 26'dır.
Yapılan incelemede, kısıt denklemi olan 3x1+5x2≤163x_1 + 5x_2 \leq 16 eşitsizliğini sağlayan tamsayı ikilileri arasında en yüksek amaç değerini 26 ile (2,2)(2,2) noktası vermektedir. Bu noktada 3(2)+5(2)=163(2)+5(2)=16 olduğu için kapasite tam kullanılır ve amaç değeri 5(2)+8(2)=265(2)+8(2)=26 olur.

Step-by-Step Solution

1
Amaç fonksiyonunu ve kısıtları matematiksel olarak tanımlayın.
MaxZ=5x1+8x2Max Z = 5x_1 + 8x_2
Kısıt: 3x1+5x2≤163x_1 + 5x_2 \leq 16
Değişkenler: x1,x2∈Z+x_1, x_2 \in \mathbb{Z}^+
Saf tamsayılı programlama modelinin kurulması için değişkenlerin tamsayı kısıtı eklenmelidir.
2
Doğrusal programlama gevşetmesini (LP Relaxation) çözerek bir üst sınır belirleyin.
3x1+5x2=163x_1 + 5x_2 = 16 doğrusunda x2=0x_2=0 için x1≈5,33x_1 \approx 5,33; x1=0x_1=0 için x2=3,2x_2 = 3,2. Amaç fonksiyonu eğimi doğrultusunda LP optimumu (5,33,0)(5,33, 0) noktasında Z=26,67Z = 26,67 olur.
Tamsayılı çözümün amaç fonksiyonu değeri, gevşetilmiş modelin değerinden büyük olamaz.
3
Uygun bölge içerisindeki tamsayı noktalarını (aday çözümleri) test edin.
(5,0)→Z=25(5,0) \rightarrow Z=25
(4,0)→Z=20(4,0) \rightarrow Z=20
(2,2)→Z=10+16=26(2,2) \rightarrow Z=10+16=26
(0,3)→Z=24(0,3) \rightarrow Z=24
(3,1)→Z=15+8=23(3,1) \rightarrow Z=15+8=23
Saf tamsayılı modellerde optimum nokta her zaman gevşetilmiş çözümün en yakınındaki tamsayı noktası olmayabilir.
4
En yüksek ZZ değerine sahip tamsayı noktasını seçin.
x1=2x_1=2 ve x2=2x_2=2 değerleri kısıtı (3(2)+5(2)=16≤163(2)+5(2)=16 \leq 16) sağlar ve Z=26Z=26 sonucunu verir.
Tüm adaylar arasında en yüksek çıktı bu noktada gerçekleşir.

Key Concept

Saf tamsayılı programlama modellerinde optimum çözüm, doğrusal programlama gevşetmesinin uygun bölgesi içindeki tamsayı koordinatlı noktalardan biridir ve her zaman 'en yakın' tamsayıya yuvarlayarak bulunamaz.
Rate this question

Topics

Saf Tamsayılı Programlama Modelleri

More questions from this topic