Examkin

Question

Difficulty: Very hardDurumların Sınıflandırılması ve Sınır (Kararlı Durum) Olasılıkları

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) merkezinde, emeklilik başvuru dosyaları ardışık 44 onay aşamasından geçmektedir. Sürecin durum uzayı S={1,2,3,4}S = \{1, 2, 3, 4\} olarak tanımlanmıştır.

Sürecin işleyişine dair kurallar şöyledir:
- Bir memur, bulunduğu herhangi bir ii. aşamada (i∈{1,2,3}i \in \{1, 2, 3\}) dosyayı incelerken 34\frac{3}{4} olasılıkla işlemi hatasız bulup dosyayı (i+1)(i+1). aşamaya sevk etmektedir.
- Memur, 14\frac{1}{4} olasılıkla ise dosyada eksiklik veya hata tespit edip, dosyayı düzeltilmesi için sürecin en başına (1. Aşamaya) geri göndermektedir.
- 4. aşamaya ulaşan bir dosya incelendiğinde işlemi kesin olarak sonuçlandırılmakta (onaylanarak veya reddedilerek) ve sistemden çıkmaktadır. Bu durumda memur beklemeden hemen yeni bir dosyanın 1. aşamasındaki işlemlerine başlamaktadır (Yani süreç her halükarda 4. aşamadan tekrar 1. aşamaya dönmektedir).

Bu sürecin geçiş olasılıkları matrisi ile bir homojen Markov zinciri oluşturduğu varsayılmaktadır.

Buna göre, sistem kararlı duruma (sınır olasılıklarına) ulaştığında, incelenmekte olan rastgele bir dosyanın '3. Aşamada' olma olasılığı kaçtır?

  1. A
    964\frac{9}{64}
  2. B
    27175\frac{27}{175}
  3. 36175\frac{36}{175}Answer
  4. D
    14\frac{1}{4}
  5. E
    48175\frac{48}{175}

Answer

Sistem kararlı duruma ulaştığında rastgele bir dosyanın 3. aşamada olma olasılığı 36175\frac{36}{175} olarak hesaplanmıştır.
Sürecin geçiş matrisi doğru bir şekilde 4×44 \times 4 boyutunda kurulup πP=π\pi P = \pi eşitliği sağlandığında, tüm olasılıklar π1\pi_1 cinsinden yazılır. Normalizasyon şartı olan ∑πi=1\sum \pi_i = 1 uygulandığında π1=64175\pi_1 = \frac{64}{175} bulunur. Bizden istenen 3. durumun olasılığı ise π3=916π1\pi_3 = \frac{9}{16}\pi_1 eşitliğinden 36175\frac{36}{175} olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen kurallara göre sistemin geçiş olasılıkları matrisini (PP) oluşturma.
P=[1/43/4001/403/401/4003/41000]P = \begin{bmatrix} 1/4 & 3/4 & 0 & 0 \\ 1/4 & 0 & 3/4 & 0 \\ 1/4 & 0 & 0 & 3/4 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} matrisi elde edilir.
Kararlı durum olasılıklarını hesaplayabilmek için öncelikle durumlar arası geçişleri matematiksel olarak modellemek gerekir.
2
Kararlı durum denklemlerini (π=πP\pi = \pi P) kurma.
π2=34π1\pi_2 = \frac{3}{4}\pi_1, π3=34π2\pi_3 = \frac{3}{4}\pi_2, π4=34π3\pi_4 = \frac{3}{4}\pi_3 ve π1=14π1+14π2+14π3+π4\pi_1 = \frac{1}{4}\pi_1 + \frac{1}{4}\pi_2 + \frac{1}{4}\pi_3 + \pi_4 denklemleri yazılır.
Sınır olasılıkları, geçiş matrisinin sol özvektörüdür ve dengede durum olasılıkları değişmez.
3
Tüm durum olasılıklarını π1\pi_1 cinsinden ifade etme.
Sırasıyla yerine konulduğunda: π2=4864π1\pi_2 = \frac{48}{64}\pi_1, π3=3664π1\pi_3 = \frac{36}{64}\pi_1 ve π4=2764π1\pi_4 = \frac{27}{64}\pi_1 bulunur.
Bilinmeyen sayısını teke düşürmek, normalizasyon şartını kullanmadan önce gereklidir.
4
Olasılıkların toplamının 1'e eşit olması (∑πi=1\sum \pi_i = 1) şartını uygulama.
π1(1+4864+3664+2764)=1  ⟹  π1(17564)=1  ⟹  π1=64175\pi_1 \left(1 + \frac{48}{64} + \frac{36}{64} + \frac{27}{64}\right) = 1 \implies \pi_1 \left(\frac{175}{64}\right) = 1 \implies \pi_1 = \frac{64}{175} bulunur.
Tüm olası durumların kararlı durum olasılıklarının toplamı her zaman 1 olmalıdır.
5
İstenen 3. aşama olasılığını (π3\pi_3) hesaplama.
π3=3664×64175=36175\pi_3 = \frac{36}{64} \times \frac{64}{175} = \frac{36}{175} olarak hesaplanır.
Soru bizden spesifik olarak 3. durumun sınır olasılığını istemektedir.

Key Concept

Homojen Markov Zincirlerinde Kararlı Durum (Sınır) Olasılıkları
Rate this question

Topics

Durumların Sınıflandırılması ve Sınır (Kararlı Durum) Olasılıkları