Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) mikro verilerini kullanarak hanehalkı tüketim harcamaları… — KPSS İstatistik

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) mikro verilerini kullanarak hanehalkı tüketim harcamalarını ( $Y$ ) başlangıçta yalnızca harcanabilir gelir ( $X_1$ ) üzerinden modelleyen bir uzman (Model I), daha sonra analizini genişletmek istemiştir. Uzman, kurduğu bu doğrusal regresyon modeline, teorik olarak tüketim harcamalarıyla hiçbir nedensel veya istatistiksel bağı bulunmayan ve evren parametresi gerçekte sıfır ( $\beta_2 = 0$ ) olan hane reisinin kimlik numarasının son hanesini ( $X_2$ ) bağımsız değişken olarak ekleyerek yeni bir tahmin (Model II) yapmıştır.

Bu dönüşüm sonucunda ortaya çıkan aşırı belirleme (overspecification) durumunda, En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicilerinin özellikleri ve modelin uyum istatistikleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Model II'deki tahmin ediciler sapmasızlık özelliğini muhafaza eder; ancak artan parametre sayısı nedeniyle hata varyansı tahmini için serbestlik derecesi düşeceğinden tahmin edicilerin varyansı büyür ve etkinlikleri kaybolur.Answer
B
Modele ilgisiz $X_2$ değişkeninin dâhil edilmesi EKK varsayımlarını doğrudan ihlal ettiğinden, başlangıçtaki $X_1$ değişkenine ait eğim katsayısı tahmini sapmalı ve asimptotik olarak tutarsız hale gelir.
C
Model II'de açıklayıcı değişken sayısı arttığı için, Model I'e kıyasla hem Belirtme Katsayısı ( $R^2$ ) hem de Düzeltilmiş Belirleme Katsayısı ( $\bar{R}^2$ ) matematiksel olarak kesinlikle artış gösterir.
D
Parametre tahmin edicileri Gauss-Markov teoreminin öngördüğü en küçük varyanslı (etkin) olma özelliğini sürdürür, fakat hata terimi varyansının tahmin edicisi ( $\hat{\sigma}^2$ ) sapmalı bir sonuç üretir.
E
Gereksiz değişken eklendiğinde hata varyansı ( $\hat{\sigma}^2$ ) hesaplanırken Hata Kareler Toplamı'nın bölündüğü serbestlik derecesi $n-2$ olarak kalmaya devam edeceğinden, parametrelerin standart hataları yapay olarak küçülür.

Answer

Modele gereksiz bir değişken eklendiğinde tahmin ediciler sapmasızlığını korur, ancak serbestlik derecesinin azalması sebebiyle tahmin ediciler varyanslarını büyüterek etkinliklerini kaybederler.

Modele teorik olarak hiçbir etkisi olmayan gereksiz bir bağımsız değişkenin alınması (aşırı belirleme), tahmin edicilerin sapmasız ve tutarlı olma özelliklerini bozmaz. Yani

E(\hat{\beta}) = \beta

eşitliği geçerliliğini korur. Ancak, modele eklenen bu gereksiz değişken hata varyansı (

\hat{\sigma}^2

) hesaplamasında serbestlik derecesini (

n-k

) düşürür ve aynı zamanda bağımsız değişkenler arasında korelasyon yaratabilir. Bu iki etki birleştiğinde parametrelerin varyansları gereksiz yere büyür. Varyansın büyümesi, tahmin edicilerin etkin (minimum varyanslı) olma özelliğini kaybetmesi ve güven aralıklarının genişlemesi anlamına gelir.

Step-by-Step Solution

Durumu tanımla

Senaryoda modele evren katsayısı sıfır olan ilgisiz bir değişken eklenmiştir. Bu durum ekonometride 'aşırı belirleme' (overspecification) olarak adlandırılır.

Uygulanan modelleme hatasının türünü belirlemek, EKK özellikleri üzerindeki etkisini analiz edebilmek için ilk şarttır.

Sapmasızlık özelliğini değerlendir

Gereksiz değişkenin modele dahil edilmesi, EKK tahmin edicilerinin beklenen değerinin gerçek evren parametresine eşit olma (sapmasızlık) durumunu bozmaz.

Gerçek modelde katsayısı sıfır olan bir değişkenin matris işlemlerindeki beklentisi sıfıra gideceğinden, asıl değişkenlerin katsayı tahminleri gerçek değerleri etrafında dağılmaya devam eder.

Etkinlik özelliğini ve serbestlik derecesini incele

Modele eklenen her yeni değişken, hata varyansını (

\hat{\sigma}^2 = \frac{HKT}{n-k}

) hesaplarken paydadaki serbestlik derecesini (

n-k

) düşürür. Ayrıca potansiyel çoklu bağlantı etkisiyle parametre varyansları şişer. Bu da tahmin edicilerin etkinliğini (minimum varyans) yok eder.

Gauss-Markov teoremine göre en iyi doğrusal sapmasız tahmin edici olabilmek için varyansın minimum olması gerekir. Aşırı belirleme varyansı artırır.

Belirtme katsayılarının (R² ve Düzeltilmiş R²) davranışını analiz et

R^2

matematiksel olarak düşmez, ancak Düzeltilmiş

R^2

, gereksiz değişkenin HKT'ye katkısı zayıf olduğu ve serbestlik derecesi cezası devreye girdiği için düşer.

Düzeltilmiş

R^2

'nin her değişken eklendiğinde artacağı yanılgısını elemek içindir.

Key Concept

Aşırı Belirleme ve EKK Tahmin Edicilerinin Özellikleri

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics