Bir kamu kurumunda yürütülen verimlilik analizinde, personelin günlük işlem hızı X sürekli… — KPSS İstatistik

Bir kamu kurumunda yürütülen verimlilik analizinde, personelin günlük işlem hızı $X$ sürekli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu:

f(x) = 2x, \quad 0 < x < 1

olarak tanımlanmıştır. Kurum yönetimi, bu verileri kullanarak $Y = 2X + 1$ dönüşümü ile yeni bir performans skoru hesaplamaya karar vermiştir. Buna göre, yeni performans skoru $Y$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

$f_Y(y) = \frac{y-1}{2}, \quad 1 < y < 3$ Answer
B
$f_Y(y) = y-1, \quad 1 < y < 3$
C
$f_Y(y) = \frac{y-1}{2}, \quad 0 < x < 1$
D
$f_Y(y) = 2(y-1), \quad 1 < y < 3$
E
$f_Y(y) = \frac{y+1}{2}, \quad 1 < y < 3$

Answer

Yeni performans skoru

Y

için olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y) = \frac{y-1}{2}, \quad 1 < y < 3

şeklindedir.

Doğru yanıt, ters dönüşümün

x = (y-1)/2

olarak belirlenmesi, Jakobiyen değerinin

1/2

olarak hesaplanması ve sınırların

1

ile

3

arasına taşınmasıyla elde edilen fonksiyondur. Bu adımlar uygulandığında

f_Y(y) = 2((y-1)/2) \times (1/2) = (y-1)/2

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

Ters dönüşüm fonksiyonunu bulun

x = g^{-1}(y) = \frac{y-1}{2}

Olasılık yoğunluk fonksiyonu dönüşümünde

x

değişkenini

y

cinsinden ifade etmek gerekir.

Jakobiyen değerini (ters türevin mutlak değeri) hesaplayın

|J| = |\frac{dx}{dy}| = |\frac{d}{dy}(\frac{y-1}{2})| = \frac{1}{2}

Yoğunluk korunumu ilkesi gereği türev çarpanı eklenmelidir.

Yeni değişken için tanım aralığını (sınırları) belirleyin

x=0 \Rightarrow y=2(0)+1=1

x=1 \Rightarrow y=2(1)+1=3

x

değişkeninin

[0, 1]

aralığı,

y

düzleminde

[1, 3]

aralığına dönüşür.

Fonksiyonu birleştirerek nihai PDF'i yazın

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |J| = 2(\frac{y-1}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{y-1}{2}

Tüm bileşenler formülde yerine koyularak sonuç basitleştirilir.

Key Concept

Tek Değişkenli Sürekli Rastgele Değişken Dönüşümü

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics